第4讲频率域图像增强

F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
• 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系
– Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
•
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数
– G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
二阶GLPF 无振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
2
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
H(u,v)1D(u,1v)/D02n
• Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器 • 它在带通和带阻之间没有明显的不连续， • 代替的是有一个平滑的过渡 • 通常把H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频
• 理想低通滤波器的定义
– 一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换 函数满足（是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
• 理想低通滤波器的透视图\图像显示、 截面图
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)的函数的截面 图
理想低通滤波器的分析
离散一维卷积
h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
j
二维卷积的定义

h(x,y) = f*g = f(u,v)g(x – u, y – v)dudv
-
离散二维卷积
h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x – m, y – n)
mn
卷积定理
卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 X(f)
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F(u,v) f(x,y)ej2(uxvy)dxdy
f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy)dudv
（2）离散形式
F(u,v)
1
M1N1
j2(uxvy)
f (x, y)e M N
MNx0 y0
M1 N1
j2(uxvy)
f (x, y)
F(u,v)e M N
u0 v0
练习
有一个2*2的图像，其中f(0，0)=3，f(0， 1)=5，f(1，0)=4，f(1，1)=2，求该图像的傅 里叶谱。
3 傅里叶变换的性质 （1）可分性（用于快速傅里叶变换）
BHPF透视图、图像表示和横截面
Butterworth高通滤波器的分析
• 问题：低频成分也被严重地消弱了，使图像失去 层次
• 改进措施： – 加一个常数到变换函数 H(u,v) + A （高频强调） （+A的含义？）
– 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进 行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤波 处理
（3）共轭对称性
F(u,v)F*(u,v)
F(u,v) F(u,v)
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
F(M l)
1
M 1
f (x)e j2 (M l)x/ M
M x0

1
M 1
f (x)e j2 (l)x/ M
F*(l) F(l)
即空域中的卷积可以用频域中的乘积的反傅立叶变换来获得 –同时有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v)
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
M x0
F(M l) F*(l) F(l)
频域中用于频域中心化操作
f(x,y)(1)xy F(uM，vN)
2
2
f (xM, yN) F(u,v)(1)(uv) 22
移中的变换：
FT
原图像f（x，y）
能量分布于四角（示意图）
r (x,y)反射分量函数 • 通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来
改进图像的表现 • 问题集中到如果能把f(x,y)的两个分量在频率域
能够分开，如果能分开问题就迎刃而解了
具体算法思路
• 两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，即：
F{f(x,y)} ≠ F{i(x,y)}F{r(x,y)}
高斯型高通滤波器
H(u,v)1eD 2(u,v)/2D 0 2
• 是低频高斯滤波的反，所以上升较butterworth快， 即高频更丰富
GHPF透视图、图像表示和横截面
IHPF
BHPF GHPF GHPF更平滑
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
傅立叶反变换
f (x) F(u)ej2uxdu
f (x) 1 F()ejxd
2
（2）周期形式（傅里叶级数）
F (u)

au

1 M
M f (x)e j2ux/ M dx
0

f (x)
aue j 2ux/ M
u


f (x)
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
频率域和空域
• 频率域——高频和低频 • 在空域中的用模板滤波从效果上看和频率
域中的高频和低频滤波的作用相似。 • 空域和频率域的对应关系
1
理想高通滤波器的透视图、图像表示和横截面
a
b
理想高通滤波器的特点：
c
1 .衰减D0以内的频率完全通过D0以外的频率
2. 有振铃现象
3. 和背景接近的圆产生很弱的边（a边上3个园）
4. a图横直的线条，小点都有失真（因为低频
成分的保留较多），
5. b,c图显现出对高频成分的过通：（1）小点
变小，线变细；（2）低频的成分越多，在空
– 高频对应 快变部分 – 低频对应 平缓部分
• 空域与频率域之间的纽带——卷积
卷积定义
• 空间滤波器线性滤波
ab
g(x,y)w (s,t)f(xs,yt) satb
• 卷积方式表达： f(x,y)*h(x,y)
– 这里的 h(x,y) 相当于模板的响应函数w()
• 卷积的定义
– 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，可以用卷 积积分来说明他们的关系 h(t) = g(t - )f()d 记为：h = g * f g(t)称为冲激响应函数
频率域滤波
• 把空域的模板看作系统对图象的响应函数h(),
– g()=f() *h()滤波
• 整个过程：
– 对f(x,y),h(x,y)进行傅立叶变换变换得F(u,v)H(u,v) – f()*h()F(u,v)H(u,v)的逆变换 – 滤波作用在F(u,v)h(u,v)相乘中完成的
• 频域滤波器
同态滤波器的引入
• 若物体受到的光照不匀，那么图像上较暗部分 的细节就较难辨别
• 如何能消除不匀性又不损失细节这就是本节讨
论的问题
同态滤波器的基本思想
• 一个图像f(x,y)可以根据它的照度和反射分量的 乘积来表示
f (x,y) = i (x,y)r (x,y) 其中：i (x,y)为明度函数，
理想低通滤波器VS Butterworth低通滤波器
理想滤波器
Butterworth低通滤波器
高斯低通滤波器
• 是指数低通滤波器
H(u,v)eD2(u,v)/22
• 令σ=D0,则
H(u,v)eD2(u,v)/2D02
高斯低通滤波器的传递函数等
三种低通滤波器的比较
ILPF 有振铃
二阶BLPF 微弱振铃
间域表现为平缓部分保留越多。如a,c中的白
边等；（3）截止频率越高，平缓部分保留越
少，只留下边
6. c图更象高通
• Butterworth高通滤波器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶 Butterworth高通滤波器（BHPF）的变换函数 如下
1
H(u,v)1DD0(u/,Dv)(u/D ,v)02n
• 物理上不可实现 • 滤除高频成分使图象变模糊
– 整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含, 大 部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量 中。小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱 的至多0.5%的能量中
• 被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果所 影响
Butterworth低通滤波器的定义
和 H(f) ,则x(t) * h(t) 的傅立叶变换为 X(f)H(f)。即
x(t)*h(t) X( f )H( f )
•空域和频域之间的基本联系——卷积定理的描述 –空域中的卷积等价于频域中的相乘 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) F{f(x,y)*g(x,y)} = F(u,v)G(u,v)
F(u,v)M 1 M x01
1
N1
f
(x,
j2vy
y)e N
Ny0
ej2uMx
1 M1
j2ux
f(x,v)e M
Mx0
（2）周期性（“周期卷绕”的基础）
F (u ,v ) F (u M ,v ) F (u ,v N ) F (u M ,v N ) f(x ,y ) f(x M ,y ) f(x ,y N ) f(x M ,y N )
但应注意：正变换和逆变换前系数乘积必须等于1/M。
（4）傅里叶谱
F (u ) R (u ) j( I u ) F (u )e j(u )
| F(u) | R2(u) I 2(u) 傅里叶幅度谱或频率谱
(u) arctan I (u)
R(u)
傅里叶相位谱
P (u ) |F (u )|2 R 2 (u ) I2 (u ) 功率谱
率D0
• Butterworth低通滤波器的截面图等 H(u,v)作为D(u,v)/D0 的函数的截面图
Butterworth低通滤波器的分析
• 在任何经BLPF处理过的图像中都没有明 显的振铃效果，这是滤波器在低频和高频 之间的平滑过渡的结果
• 尾部含有大量的高频成分（模糊减少）。 而低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代 价来减少干扰效果的修饰过程
移中的变换：
移中FT
能量集中于中心（示意图）
(a)
(b)
(c)
(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱
移中性 f(x,y)( 1)(xy) F (uM ,vN ) 22
原图像
频域图像（幅度谱）
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式
• 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx j 1