高中数学空间直角坐标系--空间两点间的距离公式

空间直角坐标系空间两点间的距离公式
层级一学业水平达标
1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()
A.a2＋b2B．|a|
C．|b| D．|c|
解析：选D点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.
2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()
A．4 3 B．2 3
C．4 2 D．3 2
解析：选A|AB|＝(1＋3)2＋(1＋3)2＋(1＋3)2＝4 3.
3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为()
A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)
解析：选A由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P 关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.
5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()
A．(0,0，3) B．(0，2，3)
C．(1,0，3) D．(1，2，0)
解析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．
6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．
解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．
答案：(－1,2，－3)
7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，
b ，
c )到坐标原点的距离|PO |＝________.
解析：由点(x ，y ，z )关于y 轴的对称点是点(－x ，y ，－z )可得－1＝－a ，b ＝－1，c －2＝－2，所以a ＝1，c ＝0，故所求距离|PO |＝12＋(－1)2＋02＝ 2. 答案： 2
8．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．
解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)
9.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，
交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－
3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，
故点B 的坐标为(－2,3，－1)；
点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；
点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；
由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，
故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．
10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，
点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N
两点间的距离．
解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223
， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4
.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫23，23，4，
C (2,2,0)，
D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．
∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫1－232＋⎝⎛⎭⎫2－232＋(2－4)2＝533
. 层级二 应试能力达标
1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A ．在x 轴上
B ．在xOy 平面内
C ．在yOz 平面内
D ．在xOz 平面内
解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．
2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于yOz 平面对称
C ．关于坐标原点对称
D ．以上都不对
解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．
3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132 B.
534 C.532
D.532 解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532
. 4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )
A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6
解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.
5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101.
答案：101
6．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．
解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0) 7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；
(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)．
由题意，得|P 0P |＝(x －4)2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.
所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．
则|MN |＝(x 0－6)2＋(1－x 0－5)2＋(0－1)2
＝2(x 0－1)2＋51.
所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.
此时点M 的坐标为(1,0,0)．
8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N
在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．
解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，
a )，D 1(0,0，a )．
由于M 为BD 1的中点，
所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝⎛⎭
⎫a 2，a 2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝⎛⎭
⎫a 4，34a ，a . 由两点间的距离公式可得：
|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－34a 2＋⎝⎛⎭
⎫a 2－a 2 ＝64a .
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量
按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。