数值分析思考题1

4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么
（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5）
答：（1） ==；
（2）Байду номын сангаас==；
,
（3） =；
（4） =；
（5） ==；
由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。
（2）相对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若ak是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r，且有 ，那么ak必为有效数字。
%
数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若绝对误差 ，那么x*至少有n个有效数字，即a1，a2，…，an为有效数字，而an+1，…，ak，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替
'
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当 较小时，通常用 代替。
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。
（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。