高三数学-2018年江苏数学冲刺(四) 精品

2018年高考最后三十天强化训练
数学模拟试卷（江苏）（四） 2018.5.12
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，计60分）
1、若集合A 、B 、C 满足C A B A ⋃=⋃，则可推得 （ ） A 、C B = B 、C A B A ⋂=⋂
C 、()()C C A B C A ⋂=⋂
D 、()()
C A C B A C ⋂=⋂
2、给出四个函数，分别满足：①()()()y f x f y x f +=+；②()()()y g x g y x g ⋅=+；③()()()y x y x ϕϕϕ+=⋅；④()()()y x y x ψψψ⋅=⋅。

又给出四个函数图象（下图）：正确的匹配方案是 （ ）
A 、①-a ②-b ③-c ④-d
B 、①-b ②-c ③-a ④-d
C 、①-c ②-a ③-b ④-d
D 、①-d ②-a ③-b ④-c
3、已知钝角α的终边经过点()θθ4sin ,2sin P ，且5.0c o s =θ，则α为 （ ）
A 、⎪⎭
⎫
⎝⎛-
21arctan B 、()1arctan
- C 、21arctan -π D 、43π
4、已知向量集合()()}
R M ∈+==λλ,4,32,1，
()()}
R N ∈+--==λλ,5,42,2，则=⋂N M （ ）
A 、(){}1,1
B 、()(){}2,2,1,1--
C 、(){}2,2--
D 、φ 5、用一张钢板制作一容积为3
4m 的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的
规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢
板的规格是 （ ）
A 、2×5
B 、2×5.5
C 、2×6.1
D 、3×5 6、如图，A 、B 、C 、D 为海上四个小岛，要建三座桥将这四个
岛连接起来，则不同的建桥方案共有 （ ）
A 、4种
B 、12种
C 、16种
D 、20种
7、某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()n f ，如下表所示：
则在他射完19发子弹后，其击中目标的子弹数最可能的是 （ ）
A 、14发
B 、15发
C 、16发
D 、15发或16发 8、已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为 （ ）
A 、
1313 B 、63 C 、33 D 、26
26
9、已知()()m x x f ++=ϕωcos 2，恒有()x f x f -=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
3π成立，且16-=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，则实数m 的值为 （ ）
A 、1±
B 、3±
C 、-1或3
D 、-3或1
10、已知函数()x f 的导数为()x x x f 443-='且图象过点()5,0-,当函数()x f 取得极大值-5时，x 的值应为 （ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、1±
11、设点P 为双曲线14
22
=-y x 右支上除顶点外的任意一点，21,F F 为其两焦点，则21PF F ∆的内心M 在 （ ）
A 、直线x=2上
B 、直线x=1上
C 、直线y=2x 上
D 、直线y=x 上
12、已知()q px x x f ++=2和()x x x g 4+
=是定义在⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
≤≤251x x A 上的函数，
对任意的A x ∈，存在常数A x ∈0，使得()()()()00,x g x g x f x f ≥≥且()()00x g x f =，则()x f 在A 上的最大值为 （ ）
A 、
25 B 、4
17 C 、5 D 、4041
二、填空题（本大题共有4小题，每小题4分，计16分）
13、已知23
2
1:≤--
x P ，()0012:22>≤-+-m m x x q ，而非P 是非q 的必要条件，但不是充分条件，则实数m 的取值范围为_____________。

14、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③
抛物线上横坐标为1的点到焦点距离等于6；④抛物线通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足为坐标为()1,2。

能使这条抛物线为x y 102=的条件是____________（要求填与合适条件的序号）。

15、有一个正多面体，其面数+顶点数为8，且各条棱长都等于4，则这一多面体的外接球的体积是____________。

16、样本,,21a a …，10a 的平均数为a ，样本,,21b b …，10b 的平均数为b ，那么样本11,b a
,,,,3322b a b a …，1010,b a 的平均数为___________。

三、解答题（本大题共有6小题，共74分） 17、（本题满分12分）已知
A 、B
是ABC ∆的两个内角，
j B A i B A a 2sin 2cos
2-++=，其中,为相互垂直的单位向量，若2
6
=。

（Ⅰ）试问B A tan tan ⋅是否为定值，若为定值，请求出；否则请说明理由。

（Ⅱ）求C tan 的最大值，判断此时三角形的形状。

18、（本题满分12分）中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。

因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。

据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：
⑴组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛多少场？ ⑵组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少？
19、（本题满分12分）（两题任选一题）（甲）已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，棱1BB 与底面ABC 所成角为︒60，且侧面11A ABB 垂直于底面ABC 。

（Ⅰ）求证：点
1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点； （Ⅱ）求二面角B AB C --1的大小；
（Ⅲ）判断C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论。

（乙）已知ABCD 是直角梯形，AD ∥︒=∠90,BAD BC ，2,1===BC AB AD ，
⊥PA 面ABCD 。

（Ⅰ）若异面直线PC 与BD 所成的角为θ，且6
3
cos =
θ，求PA ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设E 为PC 的中点，能否在BC 上找到一点F ，使CD EF ⊥？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D PC B --的大小。

20、（本题满分12分）已知向量()1,1=，()0,1=，满足0=⋅=，0>⋅。

（Ⅰ）求向量c ；（Ⅱ）若映射()()c y a x y x y x f 2,,:+=''→，若将()y x ,看作点的坐标，点()y x '',在圆82
2
=+y x 上运动，求点()y x P ,轨迹方程。

（Ⅲ）若C 、D 是（Ⅱ）中的轨迹上两动点，()2,0M ，若()1≠=λλ，求λ的取值范围。

21、（本大题满分12分）已知定义域为[]1,0的函数()x f 同时满足：①对于任意[]1,0∈x ，总有
()0≥x f ；②()11=f ；③若[]1,0,21∈x x 且121≤+x x ，则有
()()()2121x f x f x x f +≥+。

（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断()x f 在[]1,0上单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）当
⎥⎦
⎤
⎝⎛∈21,0x 时，求证：()()x f x f 221≤。

（Ⅲ）求证：满足上述条件的函数()x f 对一切[]1,0∈x ，都有()x x f 2≤。

22、已知曲线C ：()()0,02
>>-==x a a x x f y ，点()()111,x f x P 在曲线C ，过1P 点
作切线1l 。

（Ⅰ）试写出1l 的直线方程（用y x x a ,,,1表示）。

（Ⅱ）若1l 交x 轴于点()0,22x Q ，过2Q 作x P Q ⊥22轴交曲线C 于2P 点，过2P 点作切线2l ，2l 交x 轴于()0,33x Q ，过3Q 作x P Q ⊥33轴交曲线C 于3P 点，过3P 点作曲线C 的切线3l ，3l 交x 轴于点()0,44x Q ，依此下去，得到点列321,,P P P ，
…，n P ，设()()n n n x f x P ,。

（Ⅰ）当a x >
1时，求证：数列{}n x 是单调递减数列；
（Ⅱ）若设a
x a x u n n n +-=
，求证：2
1n n u u =+。

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求数列{}n u 的通项公式用1u 与n 表示。

答案
一、选择题：
1、D 例如：{}{}{}+====N u C B A ,5,4,5,4,3,3,2,1 验得：D
2、D ①等正比例函数 ②指数函数 ③对数函数 ④()2x x =ψ
3、D 终边对应射线的斜率选D 。

125.042cos 42cos 22sin 4sin 22=-⨯=-===
θθθθk 倾斜角παπ4
3
,43=∴
4、选C ()()25,24:,42,31:2211--++λλλλN M 。

(),2,2,11M ∈---=时λ
()N ∈--=2,2,02λ，若013111==+λλ时，此时对应()()M ∈∴1121，，，
5、长a ，宽b 。

截去边长为x 的小正方形，()()x b x a x 224--=一一代入数据，再求
2x 最小的验证为D
6、161436=-C C ，选C
7、12
.08.02.08.01811191919≥⋅⋅--++---i
i i i
i i
C C ，∴≥,15i 15或16时最可能选
D 8、斜面高为h ，则25,1151214=∴⨯⨯=⨯⨯⨯
h h ，侧棱226所成角余弦为13
13选A 9、()()03,16,3,322,32f f f x f x f =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=ππωπωππ得m=1或-3，选D
10、()()()5,1,5,0,522
4
-≠±=-==--=x f x x f x x x x f 时时，选B
11、选A 极限，当D 无限趋近于顶点
12、即()x f 与()x g 在同一个0x 处取最小值也相同()x g 为x=2时()4max =x g ，
()842+-=x x x f ，最大值为x=1时，得5 选C
二、填空题：
13、m x m x +≤≤-≤≤-11,11
1 11-≥-m (]2,0∈∴m 111≤+m 14、②⑤验证可得 15、如正四面体ππ6834,63==∴=
r V r 16、2
b
a +
三、解答题：
17()()B A B A B A B A -=+∴=-++=cos cos 2,2
3
2sin 2cos
222
B A B A B A B A sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2⋅+⋅=⋅-⋅∴，
3
1
tan tan ,sin sin 3cos cos =⋅∴⋅=⋅∴B A B A B A 为定值。

⑵()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+-=-⋅+=
+-=A A B A B A B A B A C tan 1tan 23tan tan 231tan tan tan tan tan tan
33
1223-=⋅⋅-≤，33
tan =A 取等号。

C tan ∴最大值为︒=∠-120,3C 且︒=∠=∠=
=30,3
3
tan tan B A B A ,∴是顶角为120°的等腰三角形。

18、⑴2010,40,3021+===n a a a n ，0365,1802
50
102=-+=⋅+=
n n n n S n ()()049=-+n n ，∴=,4n 比赛4场收入180万元。

⑵330≥n S ，则6,6652
≥∴≥+n n n （i ）比赛6场，则前5场为2:3且为领先一场
的人获胜。

()16532102165
35==⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=C P （ii ）比赛7场，则前6场为3:3 ()∴=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=,1652176
3
6
C P 收入大于330万元的概率为()()625.085161076===
+P P 19、⑴证明：过1B 作AB D B ⊥1于D 11A ABB ABC 面面⊥ 且AB 为交线
ABC D B 面⊥∴1，AB BB BD ABB 2
1
21,6011==∴︒=∠∴，中点为AB D ∴ 1B ∴在平面ABC 上的射影为AB 中点。

⑵连CD ABC ∆ 为正三角形 AB CD ⊥∴，1ABB CD 面⊥∴，3=CD
过D 作1AB DE ⊥于E 连CE ，
CED ∠∴为二面角B AB C --1的平面角，︒=∠601BAB ，∴==∠∴=
,2tan ,23EO
DE
CED DE 二面角B AB C --1的大小为2arctan 。

⑶建立坐标系()()()()()
3,3,1,0,0,1,0,3,0,3,0,0,0,0,011--C A B C O
()()
1111111,0,3,3,0,3,3,0AC C B AC C B AC B ⊥∴=⋅-∴
20、（Ⅰ）()y x ,，0,222=+=+y x y x
∴ x=1 或 x=-1 0>=⋅x y=1 ()1,1-∴ （Ⅱ）()()()()y x y x y x y x f 2,21,121,1,-+=-+=，y x y y x x 2,2-='+='
822='+'y x ，()()882,822222
2
=+∴=-++∴y x y x y x ，4422=+∴y x
()y x P ,轨迹方程14
22
=+y x （Ⅲ）当R 存在时 4422=+y x ()
012161422=+++kx x k C 、D 、M 、N 共线
2+=kx y
1
482
+=
-k k x x n m ，143442
2+-=-k k x x D
C ，C
D 中点()2,0,142,14822M k k k
N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++- 23422
>-=--=k
x x x x CD MN D
C n
m ，32=-+
==λ或 312=+-
==λ R 不存在时313或=λ综上[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∈,331,0λ 21、⑴当021==x x 时，()()()2121x f x f x x f +≥+，()00≤∴f
()[]()()00,01,0≥∴≥∈f x f x x f 上满足对 ，()00=∴f
⑵对任意10≤<≤b a x x ，设1≤=+b a x d x ，()()()()d f x f x f d a b +≥∴∈,1,0 ()()()d f x f x f a b =-∴，
()()a b x f x f ≥∴如何证明()()[]上在1,0,0x f d f ∴≠单调递增。

⑶()()()()()x f x f x f x f x f x x x 22
1
,2,12≤
∴≤+∴≤≠+ ⑷x=0时，()020⨯=f ，1=x 时()2121=⨯<f 即看 x y 2= 有否交点 ()x f y =
()1212121,2112121+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=<⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f f f ，⎪⎭⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212121n n f f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-121,21n n x 时，
n n f 2
1
21<⎪⎭⎫ ⎝⎛，当n x 21=时，1212-==n x y 若要有交点，且()x f 递增，则()121->n x f
但()1
12121--<⎪⎭⎫
⎝⎛<n n f x f 矛盾，()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∴-121,21n n x x f 在无交点，同理推得：()x f 在[]1,0∈x 中无交点，()x x f 2<∴
22、解：⑴()()a x x x a x x x x y l x x f --=-+-=='2112
111122:,2
⑵（Ⅰ）()22
21221≥=⋅≥-⨯+=
-n a a
n a x x n n ， 02221
2
1
111
<-=-=------n n n n n n x x a x x a x x ，1-<∴n n x x {}n x ∴单调递减 （Ⅱ）22
22
11122n n n
n n
n n n n n u a x a x a x a x a
x a x a
x a x u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=
+-=
-++ （Ⅲ）1
121121
111,--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-==+-=n n a x a x u
u a
x a x u n。