椭圆上一点到两顶点斜率之积

椭圆上一点到两顶点斜率之积
点 P 是椭圆 C ： x2a2+y2b2=1 的左顶点左顶点，过点 P 且互相垂直的两条直线分别与椭圆E交于、A、B 两点，则直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .
证明：证明：
法一：法一：
当直线AB的斜率为 0 时，显然不符合题意；当直线 AB 的斜率不为 0 时，
设直线 AB的方程为 x=my+n , A(x1,y1) , B(x2,y2) .
则 {x=my+nx2a2+y2b2=1 ,联立得: (a2+b2m2)⋅
y2 +2mnb2y +nb2 −a2b2=0 ,
由根与系数的关系得： {y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅
y2=b2n2−a2b2b2m2+a2;
由题可知：P(−a,0), kPA⋅kPB=−1 ,所以 kPA⋅kPB =y1−
0my1+n+a ⋅y2−0my2+n+a =−1 ⇔ (m2+1)⋅y1y2 +m(n+a)⋅(y1+y2) +(n+a)2=0 ;
代入{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−
a2b2b2m2+a2得：(m2+1)⋅n2b2−a2b2a2+b2m2 −m(n+a)⋅
2mnb2a2+b2m2 +(n+a)2=0 ；化简得： (a2+b2)⋅
n2 +2a3n +a2(a2−b2) =0 ,因式分解可得：[(a2+b2)n+a(a2−b2)]⋅(n+a)=0
解得： n=−a⋅c2a2+b2 ,
或者 n=−a （此时直线过点，不符合题意，舍去）（此时直线AB过点P，不符合题意，舍去）
直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .
法二：法二：椭圆：C：x2a2+y2b2=1向右平移 a 个单位长度，即将椭圆 C的左顶点P平移到原点 O ，如图二；
则此时椭圆方程为 (x−a)2a2+y2b2=1 ,化简为 x2a2−
2xa +y2b2=0 ；
设平移后直线AB为 mx+ny=1 .
联立{mx+ny=1x2a2−2xa+y2b2=0得：x2a2 −2xa
⋅ (mx+ny) +y2b2=0 ；
化简得： (1a2−2ma)⋅x2 −2na⋅xy + +1b2⋅y2=0 ,
等式两边同时除以 x2 齐次化得： 1b2⋅(yx)2 −2na⋅(yx) +1a2−2ma=0 ;
设平移后A(x_1,y_1) , B(x2,y2) ,
又平移后的直线、PA、PB 的斜率之积依然为−1，则kPA⋅kPB=−1 =y1x1⋅y2x2 .
由根与系数的关系得： y1x1⋅y2x2 =1a2−2ma1b2 =−1 ，解得： m=a2+b22ab2 ,
所以平移后直线AB为 a2+b22ab2⋅x+ny=1 ，过定
点 (2ab2a2+b2,0) ,
再平移回去即可得原直线过定点
(\frac{2ab^2}{a^2+b^2}-a,0) ,
化简即可得直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .
延伸猜想延伸猜想:
题中有两个变量，点 P 的位置和直线 PA 与 PB 的关系（即 PA →⋅PB→或者 kPA⋅kPB 的值）
（1）当点 P 的位置改变，kPA⋅kPB=−1 时，
点 P 是椭圆 C的右顶点右顶点，则直线 AB 过定点 (a⋅
c2a2+b2,0) ；
点 P 是椭圆 C的上顶点上顶点，则直线 AB 过定点，(0，−b⋅c2a2+b2) ；
点 P 是椭圆 C的下顶点下顶点，则直线 AB 过定点，(0，b⋅c2a2+b2) ；
点 P 是椭圆 C上一点点(x0,y0) ，则直线 AB 过定点 (x0⋅
c2a2+b2,−y0⋅c2a2+b2) .
（2）当点 P 的位置改变，kPA⋅kPB=t(t≠b2a2)时，
点 P 是椭圆 C的左顶点左顶点，则直线 AB 过定点 (−a⋅
a2t+b2a2t−b2,0) ;
点 P 是椭圆 C的右顶点右顶点，则直线 AB 过定点 (a⋅
a2t+b2a2t−b2,0) ;
点 P 是椭圆 C的上顶点上顶点，则直线 AB 过定点，(0，−b⋅a2t+b2a2t−b2) ；
点 P 是椭圆 C的下顶点下顶点，则直线 AB 过定点，(0，b⋅
a2t+b2a2t−b2) ；
点 P 是椭圆 C上一点点(x0,y0) ，则直线 AB 过定点 (x0⋅
a2t+b2a2t−b2,−y0⋅a2t+b2a2t−b2) .
注：
对于法一法一，因式分解是一个难点，想必到这里可能已经劝退了一波人，不过这里有巧可乘；从图一可知，当点 A 或点 B 在无限靠近点 P时，直线AB也无限接近点 P，所以在解关于 n 的方程时，必有一增根n=−a；因此在因式分解 (a2+b2)n2+2a3n+a4−
a2b2=0时，可以借助这一点，利用多项式除法化简即可得
[(a2+b2)n+a(a2−b2)]⋅(n+a)=0；
对于法二法二，则是利用齐次化的方法，对于解决斜率之和与斜率之积问题，齐次化的方法不失为一种简单而又巧妙的方法；。