二次函数

二次函数
知识点一 二次函数的概念
例，下例函数中，y 是x 的二次函数的是（ )
A ，22x y -=
B ，x
x y 1
2
-
= C ，22)2(x x y --= D ，123+-=x x y 举一反三：1、下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ：2681y x =+ B ；81y x =+
C ：8y x =
D ：28
1y x
=-+ 2、函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ）
A ：m n 、为常数，且m ≠0。

B ：m n 、为常数，且m ≠n .
C ：m n 、为常数，且n ≠0。

D ：m n 、可以为任何数。

3、函数22
21
()m m y m m x
--=+是二次函数，那么m 的值是（ ）
A ：2
B ：-1或3
C ：3
D ：±1
4、下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A ：当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系。

B ：在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系。

C ：圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。

D ：正方形的周长C 与边长a 之间的关系。

5、已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4),y x x =-则自变量的取值范围是（ ） A ：0x > B ：04x << C ：0≤x ≤4 D ：4x >
6、二次函数2y x =-中，a =______，b =______，c =______。

7、已知函数22
()(1)1y m m x m x m =-+-++。

若这个函数是二次函数，求m 的取值范围。

知识点二 二次函数的一般形式
例，把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）22)1(++=x x y （2）5)1)(32(+-+=x x y （3）)1(1242
x x x y +-= （4）)1)(1(-+=x x y
举一反三：函数c bx ax y ++=2
(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时：
(l ）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ； (3）它是正比例函数 ；
知识点三: y=ax 2 常量a 对二次函数的影响 1．函数y=ax 2
（a ≠0）的图象与a 的符号有关的是（ ）
A.顶点坐标
B.开口方向
C.开口大小
D.对称轴 2、二次函数如右图所示，则它的关系式是________________。

3、二次函数23y x =的图像开口向____,顶点是（__，___），它是抛物线的最____点， 第2题 对称轴是______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而________;在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________;
4、二次函数23y x =-的图像开口向____,顶点是（__，___），它是抛物线的最____点，对称轴是______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而________;在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________;
5、已知关于x 的二次函数||m y mx =中，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则m =_______.
6、已知抛物线2
12
y x =
的图像经过点(,4.5)a 和1(,)a y -，则1y 的值是________. 7、下列各组点中，两个点都在抛物线2
12
y x =上的是（ ）。

A:(0,0),(1,2) B: 1
(2,1),(1,)2
- C: (2,2),(2,2)- D: (1,2),(2,2)--
8、关于抛物线2y x =和2
y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ：顶点相同 B ：对称轴相同 C ：开口方向相反 D ：都有最小值 9．当m=___时，抛物线2
(1)m m
y m x +=+开口向下，对称轴是____,在对称轴左侧，y 随x 的增大而_____,在对称轴右
侧，y 随x 的增大而_____。

10．若函数y=ax 2
的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则a 的符号是__ _。

11．函数y=ax 2
（a ≠0）与y=-ax+b 在同一坐标系的图象可能是图中的（ ）
A B C D 12已知函数2
5y x =-的图像上有三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y ，若1230x x x >>>， 则12,y y 与3y 的大小关系为________________________。

13、如右图所示，点A 是抛物线2
y x =-上一点，AB x ⊥轴于B 点，
若B 点坐标为(2,0)-，则A
O B S V =_____________。

14、已知抛物线2
y ax =经过点(2,8)。

（1）求此抛物线的函数关系式。

（2）判断点B (1,4)是否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。

15、底面是边长为x cm 的正方形，高为0.5 cm 的长方体体积为y 2
cm 。

（1）求y 关于x 的函数式。

（2）列出对应值表，画出函数图像。

（3）根据图像求出38y cm = 时，底面边长x 的值。

（4）根据图像，求出x 为何值时，34.5y cm ≥？
16、已知抛物线2y ax = 经过点(2,1)A 。

（1）求这个函数解析式；（2）写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 点的坐标。

（3）求OAB V 的面积。

（4）抛物线上是否存在点C ，使ABC V 的面积等于OAB V 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由。

知识点四
1、抛物线y=x 2
-3的开口方向是 ;顶点坐标是 对称轴是 .这条抛物线可以看作是由抛 物线 向 平移 个单位长度得到的。

2．抛物线y=－a 2
x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿。

3．二次函数2y ax =的图像向上平移5个单位，所得新函数表达式为
4．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ． 5．若点A(2，m )在函数12
-=x y 的图象上，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是____ _.
6．已知关于x 的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ2
＋７，当0x >时，ｙ随ｘ的增大而减少，则ｍ的取值范围是
7．二次函数y =x 2
的图象向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A 、22-=x y
B 、2)2(-=x y
C 、22+=x y
D 、2)2(+=x y 8．若二次函数2
12
+
=x y 与k x y +-=2
的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图像有相同的对称轴 B ．这两个函数图像的开口方向相反
C ．方程02
=+-k x 没有实数根式 D ．二次函数k x y +-=2
的最大值为
2
1
9．如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）
10、与抛物线152--=x y 顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）
（A ）
152
--=x
y ；（B ）152
-=x y ；C ）152+-=x y ；（D ）
152
+=x y 。

11.求分别符合下列条件的抛物线52
+=ax y 的函数解析式．并画出图象。

（１）通过点（－２，１） （２）与2
32
y x =的开口大小相同，方向相反．
11.如果把抛物线2y mx n =+向上平移2个单位后得到抛物线2
11
2
y x =+，试确定m 、n
知识点五
1、抛物线2
3(3)y x =-+的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是 .这条抛物线可以看作是由抛物线2
3x y -=向 平移 个单位长度得到的。

3．若抛物线2
)(a x a y +=经过点（０，－2），则a ＝ ；这个抛物线的解析式为 ． 4． 将抛物线2
)3(2+-=x y 向左平移５个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ．
5．若点A （３，－４)在函数2
)(m x y --=的图象上，则=m _ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ． 6、抛物线y =2（x －2）2
－6的顶点坐标是
知识点七：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质
延伸，顶点延伸，顶点在对称轴直线
总结：抛物线y=ax 2
+bx+c 中a 、b 、c 的作用
习题：
基础练习
1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 .
2. 函数2
1
33
y x =---
，当x= 时，函数有最 值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 .
提高训练
4. 把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 .
5. 如图，用长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
基础练习
1. 抛物线y=2x 2
-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ）
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=12
3. 二次函数y=-2x 2
+4x-9的最大值是
A.7
B.-7
C.9
D.-9
提高训练
4. 己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长．
课后练习：
（2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2
B ．y = x －１
C ． y = 3
4 x
D ．y = 1
x
（2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2
A.5
B.-3
C.-13
D.-27
（2011山东威海，7，3分）二次函数2
23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时， 自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3
B ．x ＜－1
C ． x ＞3
D ．x ＜－1或x ＞3
（2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示． 关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3 D ．有最小值－1，无最大值
（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则下列结论中正确的是( )
A ． a >0
B ． b ＜0
C ． c ＜0
D ． a ＋b ＋c >0
（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根
（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
（2011湖南永州，13，3分）由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大。