数学---陕西省西安市第一中学2017届高三上学期期中考试(理)

陕西省西安市第一中学2017届高三上学期期中考试（理）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知空间向量a ＝(－3, 2, 5)，b ＝(1, x ,－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．复数21i
z i
=
+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，1
4，则密码被译出的概率为( )
A ．0.4
B ．0.45
C ．0.5
D ．0.6
4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞) 5．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826
.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P ( )
A ．0.1588
B ．0.1587
C ．0.1586
D ．0.1585
6．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知B 1C ，C 1D 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的余弦值为( )
A ．6
4 B ．63 C ．3
6
D ．
26
7．已知函数)(x f 的定义域为R ，f ′(x )为)(x f 的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，且f (－2)＝1，
f (3)＝1，则不等式f (x －2)>1的解集为( ) A ．(－2， 3) B ．(-2，5) C ．(0，5) D ．(3，5) 8．二项式n x x x
)1
(
-展开式中含有2x 项，则n 可能的取值是( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )个. A ．192
B ．228
C ．300
D ．180
10．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱
BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F ∥平面1AD E ，则直线1A F 与平面11BCC B 所成的角的正切值t 构成的集合是( )
A ．⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤332552t t B ．{}
322≤≤t t
C ．⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤32552t t
D ．{}
222≤≤t t
11．某校高三（1）班共有45人，现采用问卷调查统计有手机与平板电脑的人数.从统计资料显示，此班有35人有手机，有24人有平板电脑.设a 为同时拥有手机与平板电脑的人数；
b 为有手机但没有平板电脑的人数；
c 为没有手机但有平板电脑的人数；
d 为没有手机也没
有平板电脑的人数.给出下列5个不等式：①a b >，②a c >，③b c >，④b d >，⑤c d >.其中恒成立的不等式为( ) A ．①②③
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．①③⑤
12
．已知函数()1()ln f x g x x ==，对于任意1
2
m ≤
，都存在(0,+)n ∈∞，使得()()f m g n =，则n m -的最小值为( )
A ．1
2
e -
B ． 1
C ．
3
8
D ．
34
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为 ． 14．已知样本7,5,,3,4x 的平均数是5,则此样本的方差为 ．
15．一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒 子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有 种（结果用数字表示）．
16．已知函数()ln ln 1x
f x a x a a x =-+-（0a >，且1a ≠），给出下列结论:
①函数()f x 为定义域上的增函数；
②当01a <<时, 函数()f x 在区间(,1)a 上有且只有一个零点； ③对任意[1,e]x ∈，都有1()e f x ≥
恒成立的充要条件为1
[,1)e
a ∈； ④设()()x
g x f x a =-，存在唯一实数a ，使得对任意0x >，都有()10g x +≤. 其中正确结论的序号为______________.（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）在6
212x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，求：
（1）第4项的二项式系数； （2）常数项．
18．（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队， 首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答 对的概率分别为
2
1
,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有
影响，用ξ表示甲队总得分． （1）求ξ=2概率；
（2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
19．（本小题满分12分）2016年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接 受的最高票价是多少？”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：
（1）根据频率分布直方图,求a 的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；
（2）从“能接受的最高票价”落在 [8，10)，[10，12]的被调查者中各随机选取3人进行追踪 调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期 望．
20．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =-+++,图像上的点()1,5处的切线方程为5y =.
（1）若函数()f x 在1x =-时有极值,求()f x 的表达式； （2）设函数()f x 在区间[2,3]上是增函数,求实数b 的取值范围.
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 四边形ABCD 是直角梯形，
ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中
点.
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）已知函数x ax x x f -++=2
)1ln()()(R a ∈． （1）当4
1
=
a 时，求函数)(x f y =的单调区间；
（2）若对任意实数)2,1(∈b ，当],1(b x -∈时，函数)(x f 的最大值为)(b f ，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
A
A
D
B
A
C
A
C
D
B
B
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 3 14、 2 15、 19 16、 ① ② ④ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．解：（1）()
()r r
r r
r
r
r x C x x C T 3666266
1212---+⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 所以第4项的二项式系数为203
6=C ………………5分
（2）令203-6==r r ，
所以常数项为24024
2
6=⋅C ………………10分 18．解：（1）;24
11
213143213241213243)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
=ξP ………………4分
（2）设 “甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则
3
1313241313224113241)(2
13223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P
18
1313241)(2
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 613
1181)()()|(===∴A P AB P A B P ………………12分 19. 解：（1）由题意得：0.04220.220.0620.0421a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 0.16a = ……………2分
由频率分布直方图估计众数为7，
说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多. …4分
（2）由题意知，50名被调查者中：选择最高票价在[8，10)的人数为0.062506⨯⨯=人. 选择最高票价在[10，12]的人数为0.042504⨯⨯=人 ………………6分
故X 的可能取值为0，1，2 ，
33
53
3364C C 1(0)C C 8
P X ==⋅=
213321
5135
3133336464
C C C C C C 1
(1)C C C C 2P X ⋅⋅==⋅+⋅
=
2121
513133
64
C C C C 3
(2)C C 8P X ⋅⋅==⋅=
1135
0128284
EX =⨯+⨯+⨯= ………………12分
20. 解:2()32f x x ax b '=-++ 因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为0,所以
(1)320f a b '=-++=,即23a b +=……………① ………………2分
又(1)15f a b c =-+++=,即6a b c ++=……② ………………4分 (1)函数()f x 在1x =-时有极值,所以(1)320f a b '-=--+=………③
解①②③得0,3,3a b c ===,所以3()33f x x x =-+-. ………………6分 (2)因为函数()f x 在区间[2,3]上单调递增,所以导函数2()3(3)f x x b x b '=-+-+在区间[2,3]上的函数值恒大于或等于零
(2)122(3)0
(3)273(3)0
f b b f b b '=-+-+≥⎧⎨
'=-+-+≥⎩,9b ⇒≤- 所以实数b
的取值范围为(],9-∞-. ………………12分 21.解：（1）,,PC ABCD AC ABCD AC PC ⊥⊂∴⊥Q 平面平面
4,2,AB AD CD AC BC ===∴==Q
BC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,
AC EAC EAC PBC ⊂∴⊥Q 平面平面平面. ………………4分
（2）如图，以点C 为原点，,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C .设)0()2,0,0(>a a P ，则),1,1(a E -
),1,1(),2,0,0(),0,2,2(a a -===取)0,1,1(-=，
则,0=⋅=⋅为面PAC 法向量．
设),,(z y x =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅，
即⎩
⎨⎧=+-=+00
az y x y x ，取2,,-=-==z a y a x ，则)2,,(--=a a n
依题意3
6
2
2=
+=
=
a a ，则2=a ． ………………10分 于是)2,2,2(--=n ，)4,2,2(-=PA ． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则
3
2
cos sin =
=
=θ ………………12分 22.解：（1）当4
1
=
a 时，x x x x f -++=241)1ln()(
则)1()
1(2)1(121
11)(->+-=-++=
'x x x x x x x f ……………………1分 令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ；令0)(<'x f ，得10<<x ，
∴函数)(x f 的单调递增区间为)0,1(-和),1(+∞，单调递减区间为)1,0(………………4分
（2）由题意)1(1
)]
21(2[)(->+--=
'x x a ax x x f
（1）当0≤a 时，函数)(x f 在)0,1(-上单调递增，在),0(+∞上单调递减，
此时，不存在实数)2,1(∈b ，使得当],1(b x -∈时，函数)(x f 的最大值为)(b f ………6分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，有01=x ，121
2-=a
x ， ①当2
1
=
a 时，函数)(x f 在),1(+∞-上单调递增，显然符合题意.…………7分 ②当0121
>-a
即210<<a 时，
函数)(x f 在)0,1(-和),121(+∞-a 上单调递增，在)121
,0(-a 上单调递减，
)(x f 在0=x 处取得极大值，且0)0(=f ，
要使对任意实数)2,1(∈b ，当],1(b x -∈时，函数)(x f 的最大值为)(b f ， 只需0)1(≥f ，解得2ln 1-≥a ，又2
1
0<<a ， 所以此时实数a 的取值范围是2
1
2ln 1<≤-a .…………………9分 ③当
0121<-a 即2
1
>a 时， 函数)(x f 在)121,1(--a 和),0(+∞上单调递增，在)0,121
(-a
上单调递减，
要使对任意实数)2,1(∈b ，当],1(b x -∈时，函数)(x f 的最大值为)(b f ，
只需)1()121
(
f a
f ≤-， 代入化简得012ln 41
)2ln(≥-++a a ，
（*） 令12ln 41)2ln()(-++=a a a g )21
(>a ，
因为0)41
1(1)(>-='a a a g 恒成立，
故恒有0212ln )21()(>-=>g a g ，所以2
1
>a 时，（*）式恒成立，
综上，实数a 的取值范围是),2ln 1[+∞-…………………12分。