最新高一数学上期末模拟试题附答案

最新高一数学上期末模拟试题附答案
一、选择题
1．已知函数22log ,0()2,0.x x
f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩
，
关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数
解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞
B ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(1,+)∞
2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．已知函数()()2,2
11,2
2x
a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0
成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)
B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．(－∞，2]
D ．13,28⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝1
9
，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
5．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，
()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是
（ ）
A ．()3log 2,1
B ．[
)3log 2,1 C ．61log 2,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．61log 2,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
7．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -
C ．()1f x +
D ．()1f x -
8．函数ln x y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y ＝
x
10．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U
P Q ⋃=
A ．{1}
B ．{3，5}
C ．{1，2，4，6}
D ．{1，2，3，4，5}
12．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）
A ．][(),22,-∞-⋃+∞
B ．][)
4,20,⎡--⋃+∞⎣
C ．][(),42,-∞-⋃-+∞
D ．][(),40,-∞-⋃+∞
二、填空题
13．函数{}
()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{
,a a b
a b b a b
≤=>，若动直线y m =与函数
()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.
14．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，则A B =______. 15．已知35m n k ==，且
11
2m n
+=，则k =__________ 16．若函数在区间
单调递增，则实数的取值范围为
__________． 17．若函数()(21)()
x
f x x x a =
+-为奇函数，则(1)f =___________.
18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则
()()2f x f ≤的解集是________．
19．若集合{}
{}2
|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数
a =_____.
20．若函数()22x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.
三、解答题
21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数
()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.
（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；
（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫
--
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 22．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足
()842f x x =+，1
()124
g x x =
+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）
（Ⅰ）求(8)F 的值.
（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入. 23．已知集合，
，
.
（1）若，求的值； （2）若
，求的取值范围.
24．已知函数31
()31
x x
f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --<
对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．已知集合{}
121A x a x a =-<<+，{}
01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A
B =∅，求实数a 的取值范围.
26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2
y ax bx c =++，乙选择了模型•x
y p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别
为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解
【详解】 解：因为22
log ,0()2,0.
x x f x x x x ⎧>=⎨
--≤⎩，，可作函数图象如下所示：
依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数
()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令
12341
10122
x x x x <-<<<
<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以34
1x x =，则
34
1
x x =
，()41,2x ∈ 所以123444
1
2x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =
+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
1234441120,2x x x x x x ⎛⎫
∴+++=-+
+∈ ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
令()3
g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．
【详解】
令3
()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，
又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，
所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220
{1(2)2()1
2a a -<-⨯≤-,解出
13
8
a ≤,选B.
考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图
象逐渐下降,故在分界点2x =处,有2
1(2)2()12
a -⨯≤-,解出13
8
a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.
4．B
解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(
.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单
调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】
∵(] 1
21∈-∞，
，∴112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 则110102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，∴()1(())21010f f f =，
又∵[)102∈+∞，
，∴()103f =，故选D ． 【点睛】
本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．
6．C
解析：C 【解析】
分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21x
h x =-，
y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：
22log 41log 61
k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：6
1
log
22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
． 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为
(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象
上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】
设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.
8．C
解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x
=性质，即可得到正确答案.
详解：函数ln x y x
=的定义域为{|0}x x ≠ ，
ln ln x x f x f x xx
x
--=
=-
=-（）（）
， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x x
y y x
x x
==
=' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．
点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析:因函数lg 10x
y =的定义域和值域分别为
,故应选D ．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由对数函数的性质可知34
3333
log 2log 342
a =<=<
， 由指数函数的性质0.121b =>，
由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以
3
c ∈， 所以a c b <<，故选B.
11．C
解析：C 【解析】
试题分析：根据补集的运算得
{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】
由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，
()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状
结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f（4﹣2）＝ 解析：0232m <<
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由{},min ,{
,a a b
a b b a b
≤=>可知{}
()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的
一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣
8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+
当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-
其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点 故答案为0232m -＜＜
考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.
点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.
14．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-
【解析】 【分析】
先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解
A B 的结果.
【详解】
因为12x -<，所以13x
，所以()1,3A =-；
又因为2
04x x -<+，所以()()4204
x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A
B =-.
故答案为：()1,2-. 【点睛】
解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.
15．【解析】因为所以所以故填 解析：15
【解析】
因为35m n k ==，所以3log m k =，5log n k =，
11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k
+=+==，所以1
lg lg15lg 152
k =
=，15k =，故填15 16．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：
【解析】由题意得
或
，解得实数的取值范围为
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间
上
单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.
17．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2
解析：2
3
【解析】 【分析】
根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解 【详解】 ∵函数()()()21x
f x x x a =
+-为奇函数，
∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即f （﹣x ）()()()()2121x x
x x a x x a -=
=-
-+--+-，
∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ）， 即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ，
∴2a ﹣1＝0，解得a 1
2=．故2(1)3
f = 故答案为2
3
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．
18．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合
解析：(][)22-∞-⋃+∞，
， 【解析】 【分析】
由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，
∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数
()()2f x f ≤
()()2f x f ∴≤
2x ∴≥ 2x ∴≥或2x -≤
∴解集为(]
[),22,-∞-+∞
故答案为：(][),22,-∞-+∞
【点睛】
本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.
19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包
解析：0或1 【解析】 【分析】
先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】
解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得2
13
a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，
综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<
【解析】 【分析】 【详解】
函数()22x
f x b =--有两个零点，
和
的图象有两个交点，
画出
和
的图象，如图，要有两个交点，那么
三、解答题
21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】
（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与
()f x -之间的关系，进而证明；
（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】
（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，
得()()()10f f x f x =-=，
再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.
（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又
412f f x x ⎛
⎫⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2424x f x f x x -⎛⎫
=⋅=-
⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,
242,x x -<⎧⎨-≥-⎩
解得23x <≤或12x ≤<.
所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫
--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】
本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】
（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.
（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】
（Ⅰ）由题意知11
()8(20)122544
F a a a =+-+=-+，
所以1
(8)842825394
F =-
⨯+⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,
218202a a a ⎧⇒⎨
-⎩. 故1
()4225(218)4
F a a a a =-++.
令t a =
，则[2,32]t ∈，22
11()4225(82)5744
G t t t t =-++=--+，
显然在[2,32]上()G t 单调递增，
所以当32t =，即18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.
所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】
本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.
23．(1) 或；(2) .
【解析】 试题分析：
(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：的值为或. (2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得 .
试题解析： （1）若，则，∴
. 若
，则
，
，∴
.
综上，的值为或. （2）∵，
∴∴
. 24．（1）证明见解析（2）44a -≤≤
【解析】 【分析】
（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】
解：（1）∵函数31
()31x x
f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数， ()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-⋅+⋅+3131
331
x x x x
m m --∴=+⋅+，
()(1)310x a ∴--=，
等式(
)
(1)310x
m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，
则31
()31
x x f x -=+，
即2
()131
x f x =-
+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，
()()()()()
12121
2122332231313131x x x x x x f x f x -⎛
⎫-=---= ⎪++++⎝⎭， 因为12x x <，则1233x x ≤，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数; （2）由不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --≤
对任意的x ∈R 恒成立， 则()
2
cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数，
则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，
[1,1]t ∈-，则2
22
()33024a a g t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭
在[1,1]-上恒成立.
①当12
a
->时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-，
所以42a -≤<-；
②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ⎛⎫
=-=-≥ ⎪⎝⎭
.
即a -≤≤22a -≤≤； ③当12
a
-
<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，
综上，当44a -≤≤时，不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】
本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题. 25．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪
+⎨⎪-<+⎩
解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a
的取值范围. 【详解】
（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪
+⎨⎪-<+⎩
解得01a ≤≤.
故实数a 的取值范围是[]0,1.
（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅.
②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-
又
A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得1
2
a ≤-或2a ≥，
1
22
a ∴-<≤-或2a ≥.
综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【点睛】
本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．乙选择的模型较好. 【解析】 【分析】
由二次函数为2
y ax bx c =++，利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再
求出函数•x
y p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较，可决
定选择哪一个函数式好. 【详解】
依题意，得22
2•1?152
•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩
，
即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1152a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴甲：2
152y x x =-+，
又12
3•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
①②③， 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②，④
②③，⑤，
2q ÷=⑤④，,
将2q =代入④式，得1p =
将21q p ==，代入①式，得50r =， ∴乙：2250x
y =+
计算当4x =时，126466y y ==，； 当5x =时，127282y y ==，； 当6x =时，1282114y y ==，.
可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好. 【点睛】
本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题。