2016-2017年黑龙江省佳木斯一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2016-2017学年黑龙江省佳木斯一中高二（下）期中数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（∁U N）=（）
A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}
2．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”的否定为（）
A．∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∉R，x2+x+1≥0
C．∃x0∉R，x02+x0+1＜0D．∃x0∈R，x02+x0+1≥0
4．（5分）函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
5．（5分）若lgx﹣lgy=a，则=（）
A．3a B．C．a D．
6．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围
是（）
A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）7．（5分）函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（x2）的定义域是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[0，2]D．[0，4]
8．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）已知方程2x2﹣（m+1）x+m=0有两个不等正实根，则实数m的取值范围是（）
A．或B．或
C．或D．或
11．（5分）已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则f（2017）的值为（）A．2013×2015B．2014×2016C．2015×2017D．2016×2018 12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且对任意x∈R，满足f（x）+f'（x）＞0，则对任意实数a，b（）
A．a＞b⇔e a f（b）＞e b f（a）B．a＞b⇔e a f（b）＜e b f（a）
C．a＞b⇔e a f（a）＜e b f（b）D．a＞b⇔e a f（a）＞e b f（b）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若递增的一次函数f（x）满足f[f（x）]=4x+3，则f（x）=．14．（5分）已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”
为真命题，则实数m的取值范围是．
15．（5分）已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是．
16．（5分）已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（10分）计算（Ⅰ）
（Ⅱ）．
18．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在
点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
20．（12分）已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．
（1）若存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m，若F（x）≥0在区间[2，5]上恒成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点
在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=ax3++bx（a，b为常数）
（1）若y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x﹣y+6=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m 的图象交点的个数；
（3）当a=1时，∀x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范围．
2016-2017学年黑龙江省佳木斯一中高二（下）期中数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（∁U N）=（）
A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}
【解答】解：∵集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，∴∁U N={0，2，3}，
则M∩（∁U N）={0，3}．
故选：B．
2．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．
反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0
所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”的否定为（）
A．∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∉R，x2+x+1≥0
C．∃x0∉R，x02+x0+1＜0D．∃x0∈R，x02+x0+1≥0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”
的否定为：∃x0∈R，x02+x0+1≥0．
故选：D．
4．（5分）函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数，
∴，
解得，
即﹣≤x＜，
∴函数y的定义域为[﹣，）．
故选：D．
5．（5分）若lgx﹣lgy=a，则=（）
A．3a B．C．a D．
【解答】解：=3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）
=3a
故选：A．
6．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围
是（）
A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选：D．
7．（5分）函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（x2）的定义域是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[0，2]D．[0，4]
【解答】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，
∴在f（x2）中0≤x2≤2，
∴
故选：B．
8．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，
∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．
∴A 满足上述条件，
B 存在f′（x′）＞f′（x″），
C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），
D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，
故选：A．
9．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：f′（x）=k﹣，
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．
∴k≥，
而y=在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1．
∴k的取值范围是：[1，+∞）．
故选：D．
10．（5分）已知方程2x2﹣（m+1）x+m=0有两个不等正实根，则实数m的取值范围是（）
A．或B．或
C．或D．或
【解答】解：∵方程2x2﹣（m+1）x+m=0有两个不等正实根，∴△=（﹣m﹣1）2﹣8m＞0，
即m2﹣6m+1＞0，求得m＜3﹣2，或m＞3+2．
再根据两根之和为＞0，且两根之积为＞0，求得m＞0．
综合可得，0＜m＜3﹣2，或m＞3+2，
故选：C．
11．（5分）已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则f（2017）的值为（）A．2013×2015B．2014×2016C．2015×2017D．2016×2018【解答】解：∵f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，
∴f′（x）=2x﹣f‘（0），
∴f′（0）=0，
f（x）=x2﹣1，
∴f（2017）=2017×2017﹣1=2016×2018．
故选：D．
12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且对任意x∈R，满足f（x）+f'（x）＞0，则对任意实数a，b（）
A．a＞b⇔e a f（b）＞e b f（a）B．a＞b⇔e a f（b）＜e b f（a）
C．a＞b⇔e a f（a）＜e b f（b）D．a＞b⇔e a f（a）＞e b f（b）
【解答】解：由题意令g（x）=e x f（x），
则g′（x）=e x[f（x）+f'（x）]
∵f（x）+f'（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上是单调递增，
①若a＞b，
∴g（a）＞g（b），
∴e a f（a）＞e b f（b），
②若e a f（a）＞e b f（b），
∴g（a）＞g（b），
∴a＞b
∴a＞b⇔e a f（a）＞e b f（b）
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若递增的一次函数f（x）满足f[f（x）]=4x+3，则f（x）=2x+1．【解答】解：设一次函数的方程为f（x）=ax+b，因为一次函数为递增函数，所以a＞0．
则由f[f（x）]=4x+3，得f[ax+b]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+3，
即，解得，即f（x）=2x+1．
故答案为：2x+1
14．（5分）已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”
为真命题，则实数m的取值范围是﹣2＜m＜0．
【解答】解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，
若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，
所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，
又命题p：m＜0，也是真命题，
所以实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，
故答案为：﹣2＜m＜0．
15．（5分）已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是[25，+∞）．
【解答】解：f（x）=4x2﹣mx+5的对称轴x=
∵函数在区间[﹣2，+∞）上是增函数，
∴即m≤﹣16
则f（1）=9﹣m≥25
故答案为：[25，+∞）
16．（5分）已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，
使得f（a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是．
【解答】解：∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．
说明函数f（x）有3个不同零点，即方程e x（x2﹣x+1）﹣m=0有三个根．
即e x（x2﹣x+1）=m有三个根．
令g（x）=e x（x2﹣x+1），
g′（x）=（x2﹣x+1）•e x+（2x﹣1）•e x =x（x+1）•e x，
由g′（x）＞0，得x＞0或x＜﹣1；
由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．
∴函数g（x）的极大值为f（﹣1）=，极小值为f（0）=1．
由题意可得，函数g（x）的图象和直线y=m有3个交点，
如图所示：
故有：1＜m＜，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（10分）计算（Ⅰ）
（Ⅱ）．
【解答】解：（1）原式=
（2）原式==
18．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，则△=a2﹣16≥0，解得a≥4，或a≤﹣4．
命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，∴，解得a ≥﹣12．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q必然一真一假，
∴，或，
解得a＜﹣12，或﹣4＜a＜4，
∴实数a的取值范围是a＜﹣12，或﹣4＜a＜4．
19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在
点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，
∴f′（x）=﹣﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，
解得：a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，
f′（x）=﹣﹣=（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=﹣1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值﹣ln5．
20．（12分）已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．
（1）若存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m，若F（x）≥0在区间[2，5]上恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x2﹣bx+b＜0，则△＞0，即b2﹣4b＞0，
所以b的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题意可知x2﹣mx+1≥0在区间[2，5]上恒成立，
即在区间[2，5]上恒成立，
由于在[2，5]上单调递增，所以当x=2时，有最小值，
所以．即实数m的取值范围为（﹣]．
21．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点
在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，
所以a2=b2+1．
因为点在椭圆C上，
所以，可解得a2=4，b2=3．
则椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．
因为△=48（4k2﹣1）＞0，所以，
由根与系数的关系，得．
因为∠AOB为锐角，所以，即x 1x2+y1y2＞0．
所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，
即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，
所以．
综上，
解得或．
所以，所求直线的斜率的取值范围为或．22．（12分）已知函数f（x）=ax3++bx（a，b为常数）
（1）若y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x﹣y+6=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m
的图象交点的个数；
（3）当a=1时，∀x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3ax2+（2﹣3a）x+b，由题知
∵y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x﹣y+6=0，
∴，即，解得a=﹣1，b=3．
则f（x）=﹣x3++3x．
（Ⅱ）由f（x）=﹣x3++3x，可得f′（x）=﹣3x2+5x+3，
则y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m=﹣（﹣3x2+5x+3﹣9x﹣3）+m=，
则由题意函数f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m的图象交点的个数等价于方程﹣x3++3x=实根的个数，
即m=﹣x3+x2+x根的个数．
等价于g（x）=﹣x3+x2+x的图象与直线y=m的交点个数，…（6分）
g′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（x﹣1）（3x+1），
由g′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数递增，
由g′（x）＜0，解得x＜或x＞1，此时函数递减．
则函数g（x）的极小值为g（）=，极大值为g（1）=1…（8分）
根据上面的讨论，作出g（x）=﹣x3+x2+x的大致图象与直线y=m的位置如图，由图知，
当＜m＜1时，函数f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m的图象有三个不同交点；
当m=或m=1时，函数f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m的图象有两个不同交点；
当m＜或m＞1时，函数f（x）的图象与y=﹣[f′（x）﹣9x﹣3]+m的图象有1个交点．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=﹣x3+bx，f′（x）=3x2﹣x+b，
若，∀x∈（0，+∞），lnx≤f′（x）恒成立，等价于lnx≤3x2﹣x+b，即b≥lnx﹣3x2+x在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx﹣3x2+x，只需b≥h（x）max．
h′（x）=，
故当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递增．
∴h（x）max=h（）=﹣ln2﹣，
∴b≥﹣ln2﹣，
因此b的范围是[﹣ln2﹣，+∞）．。