第一章 1.5 第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

第一课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换
1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响
3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响
[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”.
“五点法”作图
[典例] 用“五点法”作出函数y ＝32sin （13x －π
3）的简图．
[活学活用]
用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4在[0，π]上的图象．
函数图象的平移变换
[典例] 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向右平移π
3个单位
[活学活用]
1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π
6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6的图象，则φ＝________.
函数图象的伸缩变换
[典例] 说明y ＝－2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的．
[活学活用]
为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )
A ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3(纵坐标不变)
B ．先向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3(纵坐标不变)
C ．先向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D ．先向右平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
层级一 学业水平达标
1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向上平移π3个单位长度
D ．向下平移π
3
个单位长度
2．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
3．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1
2，然后将
图象沿x 轴负方向平移π
4
个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin 2x
B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π4
4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π
3个单位长度，再把所得图象上所有点的横
坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π
3 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝1
2sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．
8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4的图象． 9．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？
10．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝1
2sin x 的图象相同，求f (x )
的解析式．
层级二 应试能力达标
1．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π
3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( )
A ．1
B ．－1
2
C ．0
D ．－1
2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π
4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
倍，所得函数图象的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π
2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫10x －7π4 3．下列命题正确的是( )
A ．y ＝cos x 的图象向右平移π
2个单位长度得到y ＝sin x 的图象
B ．y ＝sin x 的图象向右平移π
2
个单位长度得到y ＝cos x 的图象
C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移π
3个单位长度得到 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度
C ．向右平移π3个单位长度
D ．向左平移π
3
个单位长度
5．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π
2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6
个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 6．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x
2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
7．函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？
8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4，x ∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．
(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π
2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图
象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1
3倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．。