高二数学异面直线所成角及距离人教版知识精讲

高二数学异面直线所成角及距离人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
异面直线所成角及距离
二. 重点、难点：
1. 异面直线所成角定义。

异面直线a 、b ，过空间一点O 作a a //'、b b //'，直线a '，b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

2. 异面直线所成角的计算。

（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。

3. 公垂线。

与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。

4. 两条直线垂直。

（1）相交垂直 （2）异面垂直
5. l b l a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊥// 6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。

【典型例题】
异面直线所成的角与距离：
[例1] 正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ，对角线C A 1长为a 3。

① 异面直线1BA 与1CC 所成的角。

② 异面直线BC 与1AA 的距离。

③ 异面直线B A 1与C B 1所成的角。

④ 异面直线B A 1与1AC 所成的角。

⑤ M 、N 为11C D 、11B C 中点，MN 与AC 所成角。

⑥ H 为BC 中点，H C 1与B D 1所成角。

解：
① 11//CC BB ∴ 1BA 与1BB 所成锐角即为两条异面直线所成的角
︒=∠4511BB A 。

② AB 为两条异面直线的公垂线 ∴ 距离为a
③ D A C B 11// BD A 1∆为等边三角形 ∴ 成角为︒60
④ 延长DC 至E 使CE=CD E C C D B A 111////
1AEC ∆中，a AC 31=，a E C 21=，AEF Rt ∆中，DE=a 2，AD=a
∴ AE a 5=，由余弦定理︒=∠901E AC
⑤ MN//BD ∴ 所成角为︒90
⑥ F 为AD 中点，F D H C 11//，F BD 1∆中，a B D 31=，a F D 2
51= a BF 25=，a a a a a B D F D BF B D F D B FD 2532454532cos 222112
21211⨯⨯-+=⋅-+=∠ 5
15153
== ∴ 515arccos 1=∠B FD ∴ 所成角为5
15arccos
[例2] 四面体ABCD ，棱长均为a （正四面体）
① 求异面直线AD 、BC 的距离。

② 求AC 、BD 所成的角。

③ E 、F 为BC 、AD 中点，求AE 、CF 所成角。

解：
① E 、F 为BC 、AD 中点，连AE 、DE 、BF 、CF
ADE ∆中，a DE AE 2
3== F 为等腰AED ∆底边中点 ∴ EF ⊥AD 同上EF ⊥BC ∴ E 、F 为AD 、BC 公垂线
∴ a AF AE EF 2
222=-= ② H 为CD 中点
EH//BD EH=2
a FH//AC 2a FH = E H F ∠为两条异面直线AC 、BD 所成角 0cos =∠EHF ∴ ︒=∠90EHF
③ K 为DE 中点，连FK ，FK//AE CF 与FK 所夹锐角为异面直线AE 、CF 所成角 a CF 23= a AE FK 4321== a EK CE CK 4
722=+= 324
323216716343cos 2222=⋅⋅-+=∠a a a a CFK ∴ 32arccos =∠CFK
[例3] 正方体1AC 中，E 、F 为AB 、B B 1中点，求E A 1、F C 1所成的角。

证：H 在11B A 上，11141B A H B =
M 为11B A 中点 ∴ HF BM E A ////1。