系综理论

系综分为三类
根据外部条件的不同可以将系综分为三类： （1）微正则系综：孤立系统N、E、V不变 （2）正则系综： N、V、T不变，设想与大热源接触 （3）巨正则系综：V、T、μ 不变，设想与热源、粒 子源接触。

微正则分布：ρ
孤立系统的能量具有确，更精确地说能量在 E---E + E 之间的一 个窄范围内，系统不可能有处在这个能量范围之外的微观状态 。
微观状态数是系统在能壳间所能达到的微观状 态数。
正则系综：
其中E为系统的能量, Z为配分函数

Z e
E
e
E
Z
El
l e
l
1 E d e h Nr N!
量子正则系综：
Z , N ,V eEk
k
Ek
e
Ek
Z
正则系综中任意一个系统，它的能量等于 Ek的几率，称 量子正则分布。求和是对系统所有可能的量子态进行的。
突变：阈值即临界值对系统性质的变化有着根本的意 义。在控制参数越过临界值时，原来的热力学分支失 去了稳定性，同时产生了新的稳定的耗散结构分支， 在这一过程中系统从热力学混沌状态转变为有序的耗 散结构状态，其间微小的涨落起到了关键的作用。这 种在临界点附近控制参数的微小改变导致系统状态明 显的大幅度变化的现象，叫做突变。耗散结构的出现 都是以这种临界点附近的突变方式实现的。
For a isolated and closed system, the intrinsic entropy is never decreased, which defines a time arrow, i.e.,
S system 0
Time Evolution Paradox 告诉我们 dinger or quantum 仅仅Schrö Liouville equation 不能解释 不可逆性，不能解释万事万 物的演化! 那么什么是解释 不可逆性的基本量子(统计） 力学方程?
下面让我们简单地回顾一下统计物理学的发展简 况。 经典统计建立于19世纪下半叶，主要是 Maxwell, Boltzmann 和 Gibbs 的贡献。平衡态的 最普遍理论是Gibbs的统计系综理论（1902）；
统计系综
在相同的宏观条件下，各处在一定的 微观状态，大量结构完全相同的系统 的集合。
存在着两类不可逆过程：
Intrinsic irreversibility: (including 封闭的， 保守的系统)，Chaotic System，衰变体系。
Extrinsic irreversibility（相互作用的开放系 统）
量子力学是描述单个粒子运动的方程，同热现象无关，所 以不存在量子力学同热力学第二定律的矛盾? 如果量子力学不仅仅是描述单个粒子运动的方程，也可以 利用波函数张量积的形式来描述量子多粒子体系。量子 Liouville方程也是对密度算子求导，在利用Schrödinger 方程而得出的。从而同热现象发生关系。所以基本问题还 是在量子力学的Schrödinger方程上。 量子力学可逆性，不能解释Intrinsic irreversibility！
涨落：一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是 众多子系统的统计平均效应的反映。但系统在每一时刻的 实际测度并不都精确地处于这些平均值上，而是或多或少 有些偏差，这些偏差就叫涨落，涨落是偶然的、杂乱无章 的、随机的。 在正常情况下，由于热力学系统相对于其子系统来说非 常大，这时涨落相对于平均值是很小的，即使偶尔有大的 涨落也会立即耗散掉，系统总要回到平均值附近，这些涨 落不会对宏观的实际测量产生影响，因而可以被忽略掉。 然而，在临界点(即所谓阈值)附近，情况就大不相同了， 这时涨落可能不自生自灭，而是被不稳定的系统放大，最 后促使系统达到新的宏观态。 当在临界点处系统内部的长程关联作用产生相干运动时， 反映系统动力学机制的非线性方程具有多重解的可能性， 自然地提出了在不同结果之间进行选择的问题，在这里瞬 间的涨落和扰动造成的偶然性将支配这种选择方式，所以 普里高津提出涨落导致有序的论断，它明确地说明了在非 平衡系统具有了形成有序结构的宏观条件后，涨落对实现 某种序所起的决定作用。
耗散结构理论的创始人是比利时ULB大学的伊里亚· 普利 高津(Ilya Prigogine)教授，由于对非平衡热力学尤其是建 立耗散结构理论方面的贡献，他荣获了1977年诺贝尔化学 奖。 普利高津的早期工作在化学热力学领域，1945年得出了最 小熵产生原理，此原理和翁萨格倒易关系一起为近平衡态 线性区热力学奠定了理论基础。普利高津以多年的努力， 试图把最小熵产生原理延拓到远离平衡的非线性区去，但 以失败告终。 在研究了诸多远离平衡现象后，使他认识到系统在远离平 衡态时，其热力学性质可能与平衡态、近平衡态有重大原 则差别。 以普利高津为首的布鲁塞尔学派又经过多年的努力，终于 建立起一种新的关于非平衡系统自组织的理论──耗散结 构理论。这一理论于1969年由普里戈金在一次“理论物理 学和生物学”的国际会议上正式提出。
Brussels-Austin Group 两大工具
(1)子动力学 (2)扩张空间
特别用来解释和描述Intrinsic irriversibility
Subdynamics
t 1 L （相似变换） i L t (Liouville 空间)
i
proj
proj (投影空间)
巨正则系综

e
N E
e
E N

E N
e N! N
N
e
E
d h Nr
1 , k BT k BT
量子巨正则系综
Ek e
Ek N

Ek N
, , N e
N k
普利高津沉思什么？
什么是耗散结构产生的微观机 理？也就是说它的量子力学基 础是什么？
Time Evolution Paradox
广义相对论和量子场论的矛盾 （超弦理论，圈引力理论）
量子力学和热力学的矛盾（引 发什么？）
Louville方程
相空间任何一个代表点沿正则方程所确定 的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点 的密度是不随时间改变的常数。
1??its单个六边形纳米线电路电流输出纳米线外场电流输入?电流与外辐射场的作用将导致输出电流与输入电流不相等quantumstatisticalmethod????t????x??x????x????22byexpressedfunctionalphaseinfluenceasiswith212144?s?s???????xssxxdxdxdiettffttttttimiqfm????????????????x??x????x??x????functiongreenoftypeais??dwhere41212144?s?s????xxssxxdxdxdfifiiitttt???????hexagonalnanowireloop??x??x????x??x????????2121andanditheofpartrealtheiswhereessssi?????????????????????????????????233662023cos12cos1cos12coth4maxkuukuudtttdfff???????????vacthc???????1max363621lntanh1vacagtvv????????????????????????????????????????????????????twodimensionalsensors真空对位相变化的贡献热力学场对位相变化的贡献1th363621sinhsinh2sinh3tanh1lnlnln23atttvvttt?????????传感器工作原理由外场的特性
d 0 dt
刘维尔方程
qj pj 0 t p j j q j i H H 0 t L t
Schrodinger 方程是时间可逆的， 正时间和负时间带入所得的结果 是一样的。表现出它的演化算子 是unitary
在非平衡系统中，在与外界 有着物质和能量交换的情况 下，系统内各要素存在着复 杂的非线性的相互作用可以 产生自组织有序态，可称为 耗散结构。
更进一步说
耗散结构理论可概括为：一个远离平衡态的非线 性的开放系统(不管是物理的、化学的、生物的乃 至社会的、经济的系统)通过不断地与外界交换物 质和能量，在系统内部某个参量的变化达到一定 的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平 衡相变，由原来的无序状态转变为一种在时间上、 空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡的 非线性区形成的新的稳定的宏观有序结构，由于 需要不断与外界交换物质或能量才能维持，因此 称之为“耗散结构”(dissipative structure)。
Construction
proj P
1 PL0 P PL1Q QL1 P z QLQ P Q 1
proj
is a generalized projected density operator
1. Its second order approximation corresponds to the density operator of Master equation derived by using the Zwanzig projection technique; 2. Its approximation corresponding to the Boltzmann, Pauli, and Fokker-Planck equations of kinetic theory and Brownian motion can also be derived by using some approximation; 3. Although using the Zwanzig projection technique, the (differential integral) Master equation for the relevant part of the density operator in Liouvillian space can also be derived, but the Schrö dinger type of differential equation in subspace can not be derived by the Zwanzig projection technique. Subdynamics is more general.
i H t
t e iHt 0 U t 0 , t ,
e iH t t 0 U t 0 , Leabharlann , 刘维尔方程也是
时间演化对称的。
热力学第二定律:
非线性： 系统产生耗散结构的内部动力学机制，正 是子系统间的非线性相互作用，在临界点处，非线性 机制放大微涨落为巨涨落，使热力学分支失稳，在控 制参数越过临界点时，非线性机制对涨落产生抑制作 用，使系统稳定到新的耗散结构分支上。
开放系统： 热力学第二定律告诉我们，一个孤立系统的熵一定 会随时间增大，熵达到极大值，系统达到最无序的平衡态，所 以孤立系统绝不会出现耗散结构。那么开放系统为什么会出现 本质上不同于孤立系统的行为呢？其实，在开放的条件下，系 统的熵增量dS是由系统与外界的熵交换deS和系统内的熵产生 diS两部分组成的，即：dS=deS+diS 热力学第二定律只要求系统内的熵产生非负，即diS>=0，然 而外界给系统注入的熵deS可为正、零或负，这要根据系统与 其外界的相互作用而定，在deS<0的情况下，只要这个负熵流 足够强，它就除了抵消掉系统内部的熵产生diS外，还能使系统 的总熵增量dS为负，总熵S减小，从而使系统进入相对有序的 状态。所以对于开放系统来说，系统可以通过自发的对称破缺 从无序进入有序的耗散结构状态。
1
是粒子数为N，体积为V和能量界于 E---E + E
壳层内系统的微观态数.
量子微正则分布：ρ
Ek , N ,V , E Ek E E ; Ek 0, Ek E , Ek E E. Ek 1
1 k
要理解耗散结构理论，关键是弄清楚如下几个概念：远离 平衡态、非线性、开放系统、涨落、突变。
远离平衡态是相对于平衡态和近平衡态而言的。 平衡态是指系统各处可测的宏观物理性质均匀(从而系统内部没有宏观 不可逆过程)的状态，它遵守热力学第一定律：dE=dQ-pdV，即系统内 能的增量等于系统所吸收的热量减去系统对外所做的功；热力学第二 定律：dS/dt>=0，即系统的自发运动总是向着熵增加的方向；和波尔 兹曼有序性原理：pi=exp(-Ei/kT)，即温度为T的系统中内能为Ei的子 系统的比率为pi. 近平衡态是指系统处于离平衡态不远的线性区，它遵守昂萨格 (Onsager)倒易关系和最小熵产生原理。前者可表述为：Lij=Lji，即只 要和不可逆过程i相应的流Ji受到不可逆过程j的力Xj的影响，那么，流 Ji也会通过相等的系数Lij受到力Xi的影响。后者意味着，当给定的边 界条件阻止系统达到热力学平衡态(即零熵产生)时，系统就落入最小耗 散(即最小熵产生)的态。 远离平衡态是指系统内可测的物理性质极不均匀的状态，这时其热 力学行为与用最小熵产生原理所预言的行为相比，可能颇为不同，甚 至实际上完全相反，正如耗散结构理论所指出的，系统走向一个高熵 产生的、宏观上有序的状态。
非平衡态的理论以Boltzmann方程和 H-定理为核心， 不像系综理论那么普遍，仅适用于稀薄气体。应 该指出，玻氏方程和 H-定理的意义重大，涉及统 计物理的基本问题：趋于平衡的不可逆性。
第一部分
非平衡、量子
从普利高津谈起：
1977 年 ， 在 获 得 了 NOBEL化学奖之后， 普利高津陷入了沉 思……
非平衡、量子、网络 和演化
毕桥 武汉理工大学 2011.10
1. 统计物理发展简况
热力学与统计物理从建立到现在已经有一百多年了。 学科不断发展：不仅应用领域不断扩大，小到原子核， 大到宇宙；从物理学到其它自然科学(化学，生物， 信息科学,…)；而且，学科本身也有了许多重大的发 展，包括概念，理论和方法。自颁发Nobel奖以来， 直接因对统计物理学作出重大开创性贡献而获Nobel 物理奖的有两项; 化学奖的两项( Prigogine)。