完整版二次根式的化简与最简二次根式
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温馨提示： 化简计算时，通常要求最终结果是整式或最 简二次根式，即要求结果的分母里不含有根号，而且各 个二次根式是最简二次根式！
例题1：化简下列各式。
( 1 ) 50 ( 4 ) 45
2
(2 ) 2 7
( 5 ) 125 12
(3) 1 3
(6 ) 2 .5
化简二次根式的方法：
（1 ）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数 ,然后 利用积的算术平方根的性质 ,将式子化简。 （2 ）如果被开方数是分数时 ,先利用商的算术平方根的 性质,将其变为二次根式相除的形式 ,然后利用分母有理 化,将式子化简。
八年级下册数学
二次根式的化简
（最简二次根式）
安阳乡中心学校 代登洲
学习目标
? 1：掌握积的二次根式和商的二次根式 的计算公式，会进行简单的二次根式化 简；
? 2：理解最简二次根式的概念，会判断 代数式是不是最简二次根式；
知识探究
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b?a ? 0,b ? 0?
（a≥0， b＞0）．
其中字母 a、b可以是什么数？有什么限制条件吗？
注意公式里的条件 噢！
例题1：计算下列各式。
(1) 81? 64
(2) 25 ? 6
(3 )
5
9
观察与思考
5 56
3
观察式子的 ,你能说出化简后二次根式的特点吗 ?
满足下列两个条件的二次根式 ,叫做最简二次根式
（1 ）这些二次根式中的被开方数不含能够开的 出来的因式 （2 ）被开方数不是分数 （3 ）分母中也不含二次根式
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b
a?
b
是化简二次根式的依据之一。
a （a≥0， b＞0）
b
2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。
3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
4 、强化练习
例3 ：如图:隔湖
有两点A 、B ，
从与AB 方向成
直角的BC 方向
上的点C ，测得
A
AC=70m ，
CB=50m ，求
AB 。
C
B
? 32 ?a2 ?a?b
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
? 3a ab
②再根据积的算术平方根的 性质和 a 2 ? a(a ? 0) 把平方因 子移到根号外。
尝试练习
设 a ? 0 ，b ? 0 ，化简下列二次根式。
?1? 72
?2? 8a 2b3
解：?1? 72 ? 9 ? 8 ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 6 2
1.化简下列二次根式：
解 ?1? 24
? 4? 6
? 4? 6
?2 6
?3? 32
? 16? 2 ? 16 ? 2 ?4 2
?2? 28
? 4? 7 ? 4? 7 ?2 7
?4? 54
? 9?6 ? 9? 6 ?3 6
例2：化简下列二次根式
?1? 9a3b?a ? 0,b ? 0?
解：?1 ? 9 a 3 b
正确解法： ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? 3? 5 ? 15 ?2? 48 ? 4 ? 12 ? 2 12 ? 2 4? 3 ? 4 3
48 ? 16? 3 ? 42 ? 3 ? 4 3
?3? 4a 2 ? b2 ? 4a 2 ? b2 ? 2a ? b ～～～～～ 性质错用
1 、指出下列各式中哪些是最简二次根式：
(1) 30m
(2) 1x
2x2y 2 (3)
2
xy
(4) x2 ? 2x? 4
(5) 10?1
2 、把下列各式化成最简二次根式：
(1) a3 ? 2a2 ? a .
(2)
yz 3x2
3、 已知 5 ? 2.236
求 2000的近似值 (结果保留三个有效数字 )
或 72 ? 36 ? 2 ? 62 ? 2 ? 6 2
?2? 8a2b3 ? 2?22 ?a2 ?b2 ?b ? 2ab 2b
ห้องสมุดไป่ตู้
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
强化练习
1、下列二次根式的化简正确吗？
?1? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?? ?? 5?? 15
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积
2、商的算术平方根的性质
a ? a ?a ? 0,b ? 0?
bb
两数…个的…非算负术…数平…的方商根的的算商术平方根等于这两个非负
发现规律：
a ? b ? a ? b （a≥0，b≥0） ，
a? b
a
（a≥0， b＞0）．
b
( a· b)2=( a)2·( b)2=a·b,
强化练习2：
（1） 32 ＝ 4 2
（2） 72 ＝ 6 2
（3） 1.5
12
（4）
7
6 ＝2
2 21
＝
7
1
（5）
5
＝5 5
（6） 2 5
＝ 10 5
这些二次根式中 的被开方数不含 能够开的出来的 因式 ，被开方数不是 分数，
分母中也不含二 次根式， 满足这三点的二 次根式叫最简二 次根式。
课堂小结
例题1：化简下列各式。
( 1 ) 50 ( 4 ) 45
2
(2 ) 2 7
( 5 ) 125 12
(3) 1 3
(6 ) 2 .5
化简二次根式的方法：
（1 ）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数 ,然后 利用积的算术平方根的性质 ,将式子化简。 （2 ）如果被开方数是分数时 ,先利用商的算术平方根的 性质,将其变为二次根式相除的形式 ,然后利用分母有理 化,将式子化简。
八年级下册数学
二次根式的化简
（最简二次根式）
安阳乡中心学校 代登洲
学习目标
? 1：掌握积的二次根式和商的二次根式 的计算公式，会进行简单的二次根式化 简；
? 2：理解最简二次根式的概念，会判断 代数式是不是最简二次根式；
知识探究
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b?a ? 0,b ? 0?
（a≥0， b＞0）．
其中字母 a、b可以是什么数？有什么限制条件吗？
注意公式里的条件 噢！
例题1：计算下列各式。
(1) 81? 64
(2) 25 ? 6
(3 )
5
9
观察与思考
5 56
3
观察式子的 ,你能说出化简后二次根式的特点吗 ?
满足下列两个条件的二次根式 ,叫做最简二次根式
（1 ）这些二次根式中的被开方数不含能够开的 出来的因式 （2 ）被开方数不是分数 （3 ）分母中也不含二次根式
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b
a?
b
是化简二次根式的依据之一。
a （a≥0， b＞0）
b
2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。
3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
4 、强化练习
例3 ：如图:隔湖
有两点A 、B ，
从与AB 方向成
直角的BC 方向
上的点C ，测得
A
AC=70m ，
CB=50m ，求
AB 。
C
B
? 32 ?a2 ?a?b
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
? 3a ab
②再根据积的算术平方根的 性质和 a 2 ? a(a ? 0) 把平方因 子移到根号外。
尝试练习
设 a ? 0 ，b ? 0 ，化简下列二次根式。
?1? 72
?2? 8a 2b3
解：?1? 72 ? 9 ? 8 ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 6 2
1.化简下列二次根式：
解 ?1? 24
? 4? 6
? 4? 6
?2 6
?3? 32
? 16? 2 ? 16 ? 2 ?4 2
?2? 28
? 4? 7 ? 4? 7 ?2 7
?4? 54
? 9?6 ? 9? 6 ?3 6
例2：化简下列二次根式
?1? 9a3b?a ? 0,b ? 0?
解：?1 ? 9 a 3 b
正确解法： ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? 3? 5 ? 15 ?2? 48 ? 4 ? 12 ? 2 12 ? 2 4? 3 ? 4 3
48 ? 16? 3 ? 42 ? 3 ? 4 3
?3? 4a 2 ? b2 ? 4a 2 ? b2 ? 2a ? b ～～～～～ 性质错用
1 、指出下列各式中哪些是最简二次根式：
(1) 30m
(2) 1x
2x2y 2 (3)
2
xy
(4) x2 ? 2x? 4
(5) 10?1
2 、把下列各式化成最简二次根式：
(1) a3 ? 2a2 ? a .
(2)
yz 3x2
3、 已知 5 ? 2.236
求 2000的近似值 (结果保留三个有效数字 )
或 72 ? 36 ? 2 ? 62 ? 2 ? 6 2
?2? 8a2b3 ? 2?22 ?a2 ?b2 ?b ? 2ab 2b
ห้องสมุดไป่ตู้
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
强化练习
1、下列二次根式的化简正确吗？
?1? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?2 ? ?? 5?2 ? ?? 3?? ?? 5?? 15
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积
2、商的算术平方根的性质
a ? a ?a ? 0,b ? 0?
bb
两数…个的…非算负术…数平…的方商根的的算商术平方根等于这两个非负
发现规律：
a ? b ? a ? b （a≥0，b≥0） ，
a? b
a
（a≥0， b＞0）．
b
( a· b)2=( a)2·( b)2=a·b,
强化练习2：
（1） 32 ＝ 4 2
（2） 72 ＝ 6 2
（3） 1.5
12
（4）
7
6 ＝2
2 21
＝
7
1
（5）
5
＝5 5
（6） 2 5
＝ 10 5
这些二次根式中 的被开方数不含 能够开的出来的 因式 ，被开方数不是 分数，
分母中也不含二 次根式， 满足这三点的二 次根式叫最简二 次根式。
课堂小结