平面向量的加减法演示文稿演示
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平面向量的加法减法运算PPT课件
ABCD
首
则
AC a b
首 相
C
连
第8页/共29页
练一练
a, b 如图,已知 用向量加法的平行四边形法则作出 ab
（1）
b
ab
首
ba
首 相
（2）
b
a
ab
连
a
第9页/共29页
回顾例1：平行四边形ABCD中，
AB AD AC
AD 问: 能否不移动向量 , 而移动向
量 ？结果是否和原来一样呢？
AB
。 a
说明：
① 规定 0 0
② 性质
a
a
a
a
a
a
0
第16页/共29页
2、向量的减法：
向量
a
与向量
b
的负向量的和定义为向量
a
b 与向量
的差，即
ab a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
第17页/共29页
a b 1、向量减法法则：已知向量 ， 不共线，求作
向量 ，使 c
a a a a
a
a bbbbb
B
A
C
a b AB AC CB
第21页/共29页
a b 例1 已知如图所示向量 、 ，请画出向量
a
b
O a
A
b a b
a b
B
第22页/共29页
例2 化简：
⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解： ⑴ OD OA AD
⑵ AB AC BD DC
的向量．
这种求不共线的两个向量和的方法叫做
首
向量加法的平行四边形法则
首 相
平面向量加减法课件
在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
平面向量的加减法PowerPoint 演示文稿
1A D ； 2O A ．
.
17
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
.
18
向量的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，向量 的减法是否也有类似的法则？
.
19
相反向量
规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的 相反向量，记作-a，显然-(-a)=a，
规定，零向量的相反向量仍是零向量。
.
20
.
2
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
பைடு நூலகம்
位移A C 叫做位移 A B 与位移 B C 的和，记作 A C A BB C .
.
3
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
.
4
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
平面向量的加法PPT演示文稿(1)
2020/8/21
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
2020/8/21
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
段，能构成一个三角形吗？
请同学们
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
2020/8/21
2020/8/21
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
aHale Waihona Puke ab（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3, 则
|
a
b
c
|
有
最大值和最小值吗?
2020/8/21
课后作业： P84练习B 1、3
2020/8/21
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
2020/8/21
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
段，能构成一个三角形吗？
请同学们
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
2020/8/21
2020/8/21
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
aHale Waihona Puke ab（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3, 则
|
a
b
c
|
有
最大值和最小值吗?
2020/8/21
课后作业： P84练习B 1、3
2020/8/21
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
《平面向量加减法》课件
三角形法则：将 两个向量首尾相 接，构成一个三 角形，则其对角 线就是两个向量 的和。
平行四边形法则 和三角形法则的 适用范围：适用 于任意两个向量 的加法运算。
平行四边形法则 和三角形法则的 优缺点：平行四 边形法则直观易 懂，但计算量较 大；三角形法则 计算量较小，但 需要一定的几何 知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向 量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、 速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则 得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同 向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同， 其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何 意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接， 得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方 向决定
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
新的向量的长度等于两个向量长 度之和
新的向量的起点和终点分别对应 两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个 向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合 律： (a+b)+c=a+(b+ c)
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
向量的运算向量的减法ppt市公开课一等奖省优质课获奖课件
复习回顾： 向量加法三角形法则
a b
C
a+b
b
A a
2024/7/18
1
第2页
一、向量减法定义
1、定义：向量a加上向量b相反向量， 叫a与b差，即a-b=a+(-b)
求两个向量差运算叫向量减法
说明：１、与b长度相等、方向相反向量， 叫做b相反向量
２、零向量相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量和是零向量
向量终点字母为终点
2024/7/18
7
第8页
例题２
化简 AB-AC+BD-CD 解：原式：=CB+BD-CD=CD-CD=0
化简OA+OC+BO+CO 解：原式=（OA+BO）+（OC+CO）
=（OA-OB）+0=BA
4/7/18
8
第9页
思索：
已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,角 AOB为600, (1)求|a+b|,|a-b| (2)求a+b与a夹角,a-b与a夹角
法则有b+(a-b)=a
即a-b=CB
2024/7/18
4
第5页
例１：
❖如图：已知向量a, b, c, d,求 作
❖向量 a-b,c-d.
bd
a
c
2024/7/18
5
第6页
2024/7/18
结论
a-b B
D
A
d c-d
b
C a
c
O
6
第7页
深入了解
两个向量相减，则表示两个向量 起点字母必须相同（不然无法相 减），这么两个向量差向量是以 减向量终点字母为起点，以被减
a b
C
a+b
b
A a
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一、向量减法定义
1、定义：向量a加上向量b相反向量， 叫a与b差，即a-b=a+(-b)
求两个向量差运算叫向量减法
说明：１、与b长度相等、方向相反向量， 叫做b相反向量
２、零向量相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量和是零向量
向量终点字母为终点
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第8页
例题２
化简 AB-AC+BD-CD 解：原式：=CB+BD-CD=CD-CD=0
化简OA+OC+BO+CO 解：原式=（OA+BO）+（OC+CO）
=（OA-OB）+0=BA
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第9页
思索：
已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,角 AOB为600, (1)求|a+b|,|a-b| (2)求a+b与a夹角,a-b与a夹角
法则有b+(a-b)=a
即a-b=CB
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例１：
❖如图：已知向量a, b, c, d,求 作
❖向量 a-b,c-d.
bd
a
c
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结论
a-b B
D
A
d c-d
b
C a
c
O
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深入了解
两个向量相减，则表示两个向量 起点字母必须相同（不然无法相 减），这么两个向量差向量是以 减向量终点字母为起点，以被减
平面向量的加法减法与数乘运算31页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
平面向量的加法减法与数乘运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷Байду номын сангаас屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
平面向量的加法减法与数乘运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷Байду номын сангаас屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
平面向量的加减法PPT文档36页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
平面向量的加减法
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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平面向量的加减法
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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(2)平行四边形法则： 已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为 起点 的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
二、向量加法的运算律
2．在向量加法的三角形法则中，可得|a|＋|b|≥|a＋b|.其 中，“＝”在有一者为零向量或两个向量共线且方向相同时取 得．
例题讲解
[例1] 如图所示， 已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c. [精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝c，则向量 OC ＝(a＋b)＋c ＝a＋b＋c 即为所求．
跟踪练习
1．正方形 ABCD 的边长为 1，则| AB ＋ AD |为
A．1
B. 2
C．3
D．2 2
解析：正方形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC
∴| AB ＋ AD |＝| AC |＝ 2.
答案：B
()
2．化简下列各式： (1) PB + OP ＋ OB 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
[精解详析] 作 AB ＝υ 水，AD ＝υ 船，以 AB ，AD 为 邻边作▱ABC90°，在 Rt△ABC 中，
| AB |＝|υ 水|＝10 m/min，
| BC |＝| AD |＝|υ 船|＝20 m/min，
∴cos
∠ABC＝| |
AB BC
提示：有． 问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方 向运动？
提示：力的合力不在这两个方向上．
一、向量加法的定义和法则 1．向量加法的定义 求 两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．求向量和的方法
(1)三角形法则： 已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作 AB ＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做a与 b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角 形法则．
平面向量的加减法演示文稿演示
2.2.1 平面向量的加 法
新课讲解 问题1：向量能进行运算吗？请举例说明． 提示：能，如力的合成． 问题2：如果两个力F1，F2作用于同一个物体上， 当物体静止时，说明了什么？ 提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度 吗？在竖直方向上有速度吗？
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
的位移，则 AC 表示小船两次的合位移(如 图)．
例题讲解
[例 2] 化简或计算： (1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法 是否也满足交换律和结合律？
提示：满足． 问题2：你能验证向量也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(1)向量加法的交换律：a＋b＝ b＋a ； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c.)
深化理解
1．对两种求向量和的方法的理解． (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法 则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示： AC = AB ＋ AD （平行四边形法则，
AC ＝ AB ＋ BC (三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平 行四边形法则时应注意两向量起点相同．
(4)三角形法则可以推广为多边形法则，即对于几个向量， 有 A0 A1 A1A2 A2 A3 An1An A0 An ，这可以称为向量加法 的多边形法则．
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水 流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流 速度的大小为________．
解析：由题意可知，水流速度的大小为 4 52－82＝ 4 (km/h)．
解：1 PB ＋ OP ＋ OB ＝( OP ＋ PB )＋ OB ＝ OB ＋ BO ＝0. 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM ＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＝ AO ＋ OB ＝ AB .
例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船 行进的方向．
1．如图，已知平行向量 a、b，求作 a＋b.
解：作 OA ＝a，AB ＝b，则 OB ＝a＋b 就是求作的向量．
2．小船向正东方向行驶了 10 km，又沿北偏东 30°方向行驶 了 15 km，作出小船两次的合位移．
解：用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位移， BC 表示沿北偏东 30°方向行驶了 15 km
法二：如图 2 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝a， OB ＝b，OC ＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则 OD ＝ OA ＋ OB ＝a＋b.
再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则 OE ＝ OD ＋ OC ＝a＋b＋c 即为所 求．
跟踪练习