普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(九)数学(文)试题含答案

绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（九）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
．已知集合{}
A x y ==，{}
B x x a =≥，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞-
B ．(),3-∞-
C ．(],0-∞
D ．[)3,+∞
2．已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则a b +=（ ） A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
3．已知焦点在x
轴上的双曲线的焦距为
，则双曲线的方程为（ ）
A ．2
212
x y -=
B ．2
2
12
y x -= C ．2
212
x y -=
D ．2
212
y x -=
级 姓名 准考证号 考场号 座位号
卷
只
装
订
不密封
4．函数sin 21cos x
y x
=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．33cm
B ．35cm
C ．34cm
D ．36cm
6．按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（ ）
开始
输出A
结束
是
否1
A =1
S =5?
S ≤2
A A =+1S S =+
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
7．两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，则2+=a b （ ）
A ．2
B ．3
C
D
8．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为（ ） A ．20x y -=
B ．20x y +=
C ．20x y -=
D ．20x y +=
9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，12
，13，14， (1)
． ①
第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++等于（ ）
A ．()1n n -
B ．()2
1n -
C ．2n
D ．()1n n +
10．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，25．小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的
200公里处，若3
cos cos 4
αβ=，则v =（ ）
A ．60
B ．80
C ．100
D ．125
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>与抛物线()220y px p =>有相同的焦点F ，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -，，2
MF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．
2
D 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实
数x ，都有()()20xf x f x '+>恒成立，且1f =，则使22x f x <（）成立的实数x 的集合为（ ）
A ．((
)
2-∞+∞，
，
B ．(
C
．(-∞
D
．
)
+∞
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为_______．
14若满足条件0
20x y x y y a -≥+-≤≥⎧⎪
⎨⎪⎩
的整点(),x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是
整数的点，则整数a 的值为________．
15．在区间[]11-，上随机取一个数k ，
使直线y kx =+与圆221x y +=相交的概率为__________．
16．如图，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且2BD =，ABC △
等边三角形，点P 、Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
0)ω>的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若()
f x>，求x取值的集合．
18．为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命（单位：小时），现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示．
（1）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命；
（2）已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合格产品中不低于90小时为优异，其余为一般．现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，其中甲系列有35件（1件优异）．请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有95%的把握认为产品优异与系列有关？
参考数据：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
19．在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，24CD AB ==，60ADC ∠=︒，PAD △是一个边长为2的等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M 为PC 的中点． （1）求证：BM ∥平面PAD ；
（2）求点M 到平面PAD 的距离．
20．已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为2，点()2,1M 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 平行于为OM （O 坐标原点），且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围．
21．已知函数()2e 1x f x ax =-+，()()e 22g x x =-+，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y bx =+． （1）求a ，b 的值；
（2）证明：当0x >时，()()g x f x ≤．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．在极坐标系中，已知圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程
为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩
（t 为参数）． （1）写出圆C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）已知点102M ⎛⎫
⎪⎝⎭，，直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求MA MB -的值．
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x m x =++-．
（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含324⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，求m 的取值范围．
绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（九）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7．D
8．C
9．A
10．C
11．C
12．C
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．2n a =或42n a n =-
14．1-
15．12
16．
48
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）函数()f x k ∈Z ；（2）x 取
【解析】（1）())21sin cos 1cos2sin22f x x x x x x ωωωωω=+-
=++-
分
1
ω=分
k∈Z k∈Z，
函数()
f x k∈Z，·········6分
（2）()
2
f x>
k∈Z，
k∈Z，
则x分18．【答案】（1）67；（2）答案见解析．
【解析】（1）由题意，
45001105500210650031075002510
x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
．．．．
85001109500051067
+⨯⨯+⨯⨯=
．．，·········5分
（2）产品使用寿命处在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率之比为0.3:0.25:0.1:0.056:5:2:1
=，·········7分
因此，产品使用寿命处于[90，100]的抽样件数为
1
705
14
⨯=．
·········10分依题意，可得列联表：
()()()()()()
2
2270434311193838413535655n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯．．，
对照临界值表，没有95%的把握认为产品优异与产品系列有
关．·········12分
19．【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】（1）证明：过M 作MN CD ∥，交PD 于点N ，连接AN ， 可知12MN CD ∥＝，而12
AB CD ∥＝， 所以MN AB ∥＝
， 从而四边形ABMN 为平行四边形，
所以AN BM ∥，又AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，
所以BM ∥平面PAD ．·········6分
（2）由（1）可知M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，
设B 到平面PAD 的距离为h ，
由B PAD P ABD V V --=
，∴1133
PAD ABD S h S ⋅⋅=⋅△△
h = 故M 到平面PAD
的距离为分
20．【答案】（1）22
182x y +=；（2
）()()02，．
【解析】
（1）因为椭圆的离心率为2
，点()2,1M 在椭圆C 上，
所以22222
411c e a a
b a b
c ⎧⎪==+==⎨+⎪⎪⎪⎪⎪⎩
， (3)
分 解得a
=
b =
c =
故椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=．·········5分
（2）由直线l 平行于OM 得直线l 的斜率为12
OM k k ==
，又l 在y 轴上的截距m ， 故l 的方程为12y x m =+． 由221218
2y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=，又直线与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点， 设()11A x y ，，()22B x y ，，则122x x m +=-，21224x x m =-．
所以()()
2224240m m ∆=-->，于是22m -<<．·········8分 AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0m ≠， 则
()21212121212121150224
2m OA OB x x y y x x x m x m x x x x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++=+++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，··10分
即22m <，又0m ≠，所以m
的取值范围为
()()02，．·········12分
21．【答案】（1）1a =，e 2b =-；（2）见解析．
【解析】（1）由题设得()e 2x f x ax ='-，·········1分
∴()()1e 2 1e 12
f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-+=+'⎪⎩，·········3分 解得，1a =，e 2b =-．·········5分
（2）由（1）知，()2e 1x f x x =-+，令函数()()()()2e e 21x h x f x g x x x =-=----， ∴()()e 2e 2x h x x =---'，·········6分
令函数()()x h x ϕ='，则()e 2x x ϕ'=-，
当()0ln2x ∈，时，()0x ϕ'<，()h x '单调递减；
当()ln2x ∈+∞，时，()0x ϕ'>，()h x '单调递增，·········8分 又()03e 0h ='->，()10h '=，0ln21<<，()ln20h '<，
所以，存在()001x ∈，，使得()0h x '=，
当()()001x x ∈+∞，，
时，()0h x '>；当()01x x ∈，，()0h x '<， 故()h x 在()00x ，上单调递增，在01x （，）上单调递减，在()1+∞，上单调递
增．·····10分
又()()010h h ==，∴()()2e e 210x h x x x =----≥，当且仅当1x =时取等号． 故：当0x >时，()()g x f x ≤，·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）2240x y x +-=，2210x y --=；（2）74
． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为224x y x +=， 所以圆C 的直角坐标系方程为2240x y x +-=．
由122 2x t y =⎧⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩
消t 得102x y --=，所以直线l 的普通方程为2210x y --=．·······5分
（2）显然直线l 过点102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
将12 x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=
得27024t --=，
则12t t +=，12704
t t =-<，
根据直线参数方程中参数的几何意义知：
1212MA MB t t t t -===-+．··10分
23．【答案】（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）1104m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，． 【解析】（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-，
①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤
； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112
x <<； ③当12x ≤
时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤； 综合①②③可知，原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
．········5分 （2）由题意可知()21f x x ≤+在324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，当324x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤， 即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124
x --=-，()min 20x -=， 因此1104m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，．········10分。