【把握高考】高三数学二轮复习 专题演练1-2-2第二讲 函数与方程及函数的应用.pdf

【把握高考】2013届高三数学二轮复习 专题演练1-2-2第二讲 函数与方程及函数的应用
一、选择题
1．(2012年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：先判断函数的单调性，再确定零点．
因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，所以有1个零点．
答案：B
2．(2012年朝阳区模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：由条件可知f(1)f(2)<0，
即(2－2－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0，解之得00 D．f(x0)的符号不确定
解析：函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，若这个函数有零点，则零点是唯一的，根据函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的及a为函数f(x)的零点可知，在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)，故实数a的取值范围是0，f()＝－3－1<0，f()·f(2)<0，故下一步可断定该根在区间(，2)内．
答案：(，2)
7．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，
解得x＝－2或x＝0(舍去)．
所以当x<0时，只有一个零点－2；
当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝e0－1－2＝－20，
所以当x>0时，函数f(x)有且只有一个零点．
综上，函数f(x)只有两个零点，故填2.
答案：2
8．(2012年长沙模拟)已知函数f(x)＝，则关于x的方程f[f(x)]＋k＝0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是________(把所有满足要求的命题序号都填上)．
解析：依题意知函数f(x)>0，又f[f(x)]＝依据y＝f[f(x)]的大致图象(如图)知，存在实数k，使得方程
f[f(x)]＋k＝0恰有1个实根；存在实数k，使得方程f[f(x)]＋k＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题
9．已知函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c.试比较a，b，c的大小．
解析：由f(x)＝ex＋ln x＝0，得ex＝－ln x，但x>0，ex>1，故－ln x>1，即ln x<－1，所以00，
0<e－x<1，
故0<－ln x<1，即－1<ln x<0，所以<b0，
0<e－x<1，故0<ln x<1，所以1<c<e.
综上可知a<b<c.
10．对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－1)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)＝c恰有两个实根，求实数c的取值范围．
解析：根据“”的定义知：
当x2－2－(x－1)≤1，即：x2－x－2≤0，
得：－1≤x≤2，
所以当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－2，
同理当x2时，f(x)＝x－1，
综上可知：f(x)＝.
(1)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，－1)，(0，2]，(2，＋∞)上为增函数；在
[－1，0]上为减函数．
(2)在(1)中图象所在坐标系中作出函数y＝c的图象，结合图象知：当c∈(－2，－1]∪(1，2]时方程有两个实根． 11．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°，如图所示，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小．(1)求断面外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
(2)如防洪堤的高限制在[3，2]的范围内，则断面外周长最小为多少米？
解析：(1)由等腰梯形的面积，
得6＝(AD＋BC)h，
因为AD＝BC＋2·＝BC＋h，
所以6＝(2BC＋h)h，
即BC＝－h.
设外周长为l，则l＝2AB＋BC＝＋－h＝h＋≥6，
当且仅当h＝，即h＝ 时等号成立．
故断面外周长的最小值为6 米，此时，堤高h是 米．
(2)由(1)，知外周长l＝h＋＝(h＋)，h∈[3，2]．
设3≤h10，
这说明l是h的增函数，
所以当h＝3时，l取得最小值，即lmin＝×3＋＝5(米)．。