九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (142)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案） 如图，晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB 和EC ）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子HN 长为3 m ，左边的影子FH 长为1m ．小亮身高GH 为1.5m ，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离BC 为16m ，则路灯的高为____ m ；
【答案】7.5；
【解析】
试题解析：设路灯的高为x 米，
∵GH ∵BC ，AB ∵BC ，
∵GH ∵AB ．
∵∵NGH ∵∵NAB ． ∵=GH NH x NB
①． 同理∵FGH ∵∵FCE
F =FC
GH H x ②． ∵==NH FH NH FH NB FC NB FC
++． ∵34164
NB =+． 解得NB=15米，代入①得
1.5315
x =， 解得x=7.5．
67．如图，在△ABC 中，点M 在边AB 上，点N 在边AC 上，AM=BM ，
且MN//BC ，如果MN=5，那么BC=__________．
【答案】10
【分析】 先根据平行线截线段成比例的性质可得AM AN MB NC
=；AM=BM ，AN NC =；从而可证MN 是∵ABC 的中位线，进而可得2=10BC MN =．
【详解】
解：∵ AM BN ， ∵AM AN MB NC
=, ∵AM MB =,
∵AN NC =;
又∵AM BN ，
∵MN 是∵ABC 的中位线，
∵2BC MN =
∵5MN =，
∵10BC =；
故应填10．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例及中位线的判定与性质等概念．
三、解答题
68．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点．
（1）写出图中的一对相似三角形，并给出证明；
（2）若BF ＝ ，求BD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）BD ==
【分析】
(1) 根据典型的“8”字形得出∵DEF ∵∵BCF ，AD ∵BC ，得出两组内错角相等，还有一组对顶角相等即可证明.
(2) 根据E 是边AD 的中点，DE 是AD 的一半，AD=BC,相似比得出12
DE DF BC BF ==，得到DF,然后BD=DF+BF 【详解】
(1) ∵DEF ∵∵BCF
平行四边形ABCD 中，AD ∵BC
∵∵DEF =∵BCF ,∵EDF =∵CBF
∵∵DEF ∵∵BCF ．
(2) 平行四边形ABCD 中，AD =BC
∵E 是AD 的中点．∵DE =12AD=12BC ∵12
DE BC =
∵∵DEF ∵∵BCF , BF ＝∵12
DE DF BC BF ==
∵DF =BD =
【点睛】
此题主要考查了典型的相似三角形及性质，解题的关键是熟练相关知识，几种典型的相似三角形要记住.
69．对于直线MN 同侧的两个点A ，B ，若直线MN 上的点P 满足
APM BPN ∠=∠，则称点P 为A ，B 在直线MN 上的反射点，如图1.
（1）如图2，Rt ABC ∆中，60A ∠=，点D 为C ，E 在AB 上的反射点，若D 是斜边AB 的中点，求证：点E 是BC 的中点.
（2）如图3，Rt ABC ∆中，90C =∠，D 为AB 上一点，点P 为A ，D 在BC 上的反射点，若:2:3BP PC =，求:BD AD 的值.
（3）如图4，Rt ABC ∆中，90C =∠，AC BC =，是否存在AB 上的点D ，BC 上的点P ，使点D 为P ，C 在AB 上的反射点，点P 为A ，D 在直线BC 上的反射点？若存在，求出:PD CD 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）13
；（3）12. 【分析】
（1）根据60A ∠=和D 是斜边AB 的中点即可得到∵ACD 是等边三角形和∵CDB 为等腰三角形，再根据点D 为C ，E 在AB 上的反射点，即可得到∵CDA=∵EDB=60°，即可求出∵CDE ，根据三线合一点E 是BC 的中点；
（2）过点D 作DG ∵BP ，根据:2:3BP PC =，可设2,3BP a PC a ==，证出两组三角形相似即可求出:BD AD .
（3）作∵ACB 关于AB 的对称图形∵AC B '，连接C D '，作∵APC 关于BC 的对称图形∵A PC '，先证C A ''、D 、P、四点共线，再利用平行求出线段的比即可
【详解】
解：（1）∵D 是斜边AB 的中点
∵DA=DB=DC
∵60A ∠=
∵∵ACD 是等边三角形和∵CDB 为等腰三角形
∵∵CDA=60°
∵点D 为C ，E 在AB 上的反射点
∵∵EDB=∵CDA=60°
∵∵CDE=180°－∵EDB －∵CDA=60°，即DE 是∵BDC 的角平分线，
∵点E 是BC 的中点.
（2）过点D 作DG ∵BP ，
∵:2:3BP PC =，设2,3BP a PC a ==
∵P 是A,D 在BC 上的反射点
∵∵DPG=∵APC
又∵∵DGP=∵ACP=90°
∵∵DGP ∵∵ACP ∵23DG GP a BG AC PC a
-== ∵DG ∵AC
∵∵DGB ∵∵ACB ∵5DG BD BG BG AC BA BC a
=== ∵235a BG BG a a
-= 解得：54BG a =
∵51454
a BD BG BA BC a === ∵13
BD AD = （3）如下图所示：作∵ACB 关于AB 的对称图形∵AC B '，连接C D '，作∵APC 关于BC 的对称图形∵A PC '，
由对称可知：四边形AC BC '是正方形，∵ADC=∵ADC '，∵APC=∵A PC '，AC=A C '，CD=C D '
∵=AC C B BC CA A C '''===，,AC BC C B CA ''
∵点D 为P ，C 在AB 上的反射点，点P 为A ，D 在直线BC 上的反射点 ∵∵BDP=∵ADC ，∵DPB=∵APC
∵∵BDP=∵ADC '，∵DPB=∵A PC '
∵C A ''、D 、P、四点共线，
∵C B CA ' ∵=1BP C B PC CA '='
∵=BP PC ∵11=22
BP BC AC '= ∵AC BC '
∵1=2
PD BP C D AC ='' ∵12
PD PD CD C D ==' 【点睛】
此题考查的是新定义问题、等边三角形和等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、对称的性质和正方形的性质等，解决此题的关键是读懂材料中的定义，并根据定义解决问题.
70．如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG △菱形ABCD ，连接EB ，GD ．
（1）求证：EB ＝GD ；
（2）若△DAB ＝60°，AB ＝2，AG GD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）GD
【分析】
（1）用SAS证明∵AEB∵∵AGD即可得到EB＝GD；
（2）连接BD.由（1）可知，求出EB即可得到GD的长.依次求出BP、AP、EP的长即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵菱形AEFG∵菱形ABCD，
∵∵EAG＝∵BAD，
∵∵EAG+∵GAB＝∵BAD+∵GAB，
∵∵EAB＝∵GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∵∵AEB∵∵AGD，
∵EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP∵AC，
∵∵DAB＝60°，
∵∵PAB＝30°，
∵BP＝1
2
AB＝1，
AP
AE＝AG＝，
∵EP＝
∵EB
∵GD
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.。