江西省南昌市八一2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学
高一期中考试数学试卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知,,x y z 为非零实数，且(01)x
y
a a a ><<，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 22
x y < B. 22
xz yz <
C. ||||x y <
D.
11x y
> 【★答案★】B 【解析】 【
分析】
由条件可得x y <，再结合0z ≠，可得22
xz yz <，即可选出★答案★. 【详解】因为(01)x y
a a a ><<，所以x y <
因为0z ≠，所以20>z ，所以2
2
xz yz <
当3,1x y =-=时，22
x y <、||||x y <、
11
x y
>都不成立 故选：B
【点睛】本题考查的是指数不等式的解法及不等式的性质，属于基础题. 2.已知集合2
{|230}A x R x x =∈-->，1
{|1}B x R x
=∈≤，则R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)
[1,3]- B. [1,0][1,3]-⋃ C. [1,3]
D. (0,1]
【★答案★】A 【解析】 【分析】
解出集合A 和B 中的不等式即可.
【详解】由2230x x -->可得3x >或1x <-，所以[]1,3R C A =-
因为()10111000
x x x
x x x x ⎧-≤-≤⇒≤⇒⇒<⎨≠⎩或1x ≥，所以()[),01,B =-∞⋃+∞ 所以R C A B ⋂=[1,0)[1,3]-
故选：A
【点睛】本题考查的是分式不等式、一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题. 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a c
A C
=，则△ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【★答案★】A 【解析】
试题分析：由正弦定理
sin sin a c A C =，可将cos cos a c A C =变形为sin sin cos cos A C
A C
=，即tan tan A C =，因为,A C 为三角形内角，所以A C =，则a c =．故此三角形为等腰三角形．故A 正确． 考点：正弦定理．
4.设1234,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则12
34
22a a a a ++的值为（ ）
A.
18
B.
14
C.
12
D. 1
【★答案★】B 【解析】
12112323
34112222241
22288164
a a a a q q a a a q a q q q ++++=====++++，选B. 5.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A. 18 B. 99
C. 198
D. 297
【★答案★】B 【解析】 【分析】
由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a 6，再由等差数列的前n 项和公式求出S 11． 【详解】∵a 3+a 9=27﹣a 6，∴3a 6=27，a 6=9， ∴11111611a +a s =
=11a =992
（）
． 故选B ．
【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用．
6.在ABC 中，π
4
C ∠=，2AB =，6AC =，则cos B 的值为（ ） A.
12
B. 32
-
C.
12或32
- D.
1
2或12
- 【★答案★】D 【解析】
分析：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C =，得3
sin 2
B =，即可得到角B ，进而得到结论． 详解：由题意,2,64
C c AB b AC π
∠=
====，
由正弦定理sin sin b c B C
=，则有6sin
34sin 22
B π
==， 因为0B π<<，所以3
B π=或23π
，
当3B π=时，1cos 2
B =，当23B π=时，1cos 2B =-，故选D ．
点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题．
7.已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【★答案★】D 【解析】 【分析】
根据a+b≥2ab ，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab 的最小值． 【详解】∵ab=a+b≥2ab ，(
)
2
ab ≥2ab ，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 最小
值为4， 故选D ．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8.已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线
()20,0x y
a b a b
+=>>经过点M ，则+a b 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【★答案★】C 【解析】 【分析】
利用对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点
(2,2)M ，由此得到关于a ，b 的等式，利用基本不等式求最小值．
【详解】解：由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点()2,2M ，又直线()20,0x y
a b a b
+=>>经过点M ， 所以
111a b
+=，所以11()()2224b a b a a b a b a b a b ++=+++=；
当且仅当a b =时等号成立； 故选：C ．
【点睛】本题考查了对数函数的图象以及利用基本不等式求最小值，属于中档题． 9.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n =+，则121419
271314
=a a a a b b b b ++++++（ ） A.
27
19
B.
107
C.
5135
D.
127
【★答案★】C 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，分析得到12141917
27131417
a a a a S
b b b b T +++=+++,即得解.
【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ， 所以
1214199
11111111127131412121212129
13188=612138a a a a a a a d a d a d a d b b b b b d b d b d b d b d b ++++++++++==+++++++++++
9117179117173417()31751
=
3417()217135
a a a S
b b b T +⨯====+⨯+. 故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.已知数列1a ，21a a ，32
a a ，⋅⋅⋅，1n
n a a -，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则下列项中是数
列{}n a 中的项是（ ） A. 16 B. 128
C. 32
D. 64
【★答案★】D 【解析】 试题分析：
，当
时，
，故选D.
考点：等比数列、累乘法求通项公式．
11.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且1310670,0,0a a a a a >+><，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（ ） A. 6
B. 7
C. 12
D. 13
【★答案★】C 【解析】
由3100a a +>,利用等差数列的性质可得：310670a a a a +=+>,又67a a <0,1
a >0， ∴6a >0,7
a <0. ∴()
()()
1121131267137121360,1302
2
a a a a S a a S a ++=
=+>=
=<，
则满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 故选C.
点睛：求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+. 由此得：1()
2
n n n a a S +=
， 当21n k =-为奇数时，21(21)2(21)2
k
k k k a S k a --==-，
当2n k =为偶数时，1212()()2
k k k
k k k a a S k a a +++==+.
12.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2
142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对
任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. ()3,5 B. ()4,6 C. [)3,5 D. [
)4,6 【★答案★】A 【解析】
试题分析：由()2
142n n S S n
n -+=≥得()2141n n S S n ++=+．
两式相减得()1842n n a a n n ++=+≥， 故21812n n a a n +++=+， 两式相减得()282n n a a n +-=≥． 又由1a a =得23162,42a a a a =-=+，
所以，()()2221381882,81842n n a a n n a a a n n a +=+-=+-=+-=-+． 因为对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，
所以，()162{8828428428182a a
n a n a
n a n a
<-+-<-+-+<++-，解得35a <<．选A.
考点：数列通项，不等式恒成立
【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若不等式210x ax -+≥对于一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为__________. 【★答案★】2 【解析】 【分析】
参变分离可得1a x x ≤+
，再根据基本不等式求1
y x x
=+在(0,)x ∈+∞上的最小值即可. 【详解】不等式210x ax -+≥对于一切(0,)x ∈+∞恒成立，即1
a x x
≤+在(0,)x ∈+∞上恒成立.
又11
22y x x x x
=+
≥⋅=，当且仅当11x x ==时取等号.故2a ≤，即a 的最大值为2.
故★答案★为：2
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，同时也考查了参变分离求函数最值的方法，属于基础题.
14.已知函数1
()(3)3
f x x x x =+>-，则函数()f x 的最小值为__________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】
由题得1
()333
f x x x =-++-，再利用基本不等式求函数的最小值得解. 【详解】由题得1
()333
f x x x =-+
+-， 因为3,30x x >∴->，
所以11()332(3)3533
f x x x x x =-+
+≥-⋅+=--. 当且仅当4x =时取最小值. 故★答案★为：5.
【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中, ,,a b c 是角,,A B C 所对的边长,若sin :sin :sin 4:5:6A B C =,则
2cos a A
c
=__________． 【★答案★】1 【解析】
分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出cos A 的值. 详解：由正弦定理得sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，
又由余弦定理知 2222536163
cos 22564
b c a A bc +-+-===⨯⨯，
∴
2cos 2sin cos sin a A A A c C =sin 43
2cos 21sin 64
A A C =⨯⨯=⨯⨯=. 点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.
16.锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()b a a c =+，则b
a
的取值范围是__________.
【★答案★】(2,3) 【解析】 【分析】
由条件结合余弦定理可得2cos a c a B =-，然后可得sin sin 2sin cos A C A B =-，然后可得出
2B A =，由ABC 是锐角三角形求出A 的范围，
sin sin 22cos sin sin b B A A A A
a ===，即可得到★答案★.
【详解】因为222
()2cos b a a c a c ac B =+=+-，所以2cos a c a B =- 所以sin sin 2sin cos A C A B =-，所以()sin sin 2sin cos A A B A B =+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-，所以()sin sin A B A =- 所以A B A =-或A B A π+-=
即2B A =或B π=（不符合题意，舍去），所以3C A π=- 因为ABC 是锐角三角形， 所以0,02,032
2
2
A A A π
π
π
π<<
<<
<-<
解得
6
4A π
π
<<
，所以
(
)
sin sin 22cos 2,3sin sin b B A
A a A A
===∈
故★答案★为：(2,3)
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设42n a
n b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【★答案★】（1）3n a n =-（2）(1)
212
n
n n +-+
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件建立方程组解出1a 和d 即可； （2）3
142
2n n n b n n --=⋅+=+，利用等差等比数列的前n 项和公式计算即可.
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵33S =-，77S =，
∴11133232177672
a d a d ⎧
+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，
∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-； （2）由（1）得3
142
2n n n b n n --=⋅+=+，
∴()0
1
1
12222
(123)n n n T b b b n -=++⋯+⋅=++⋯+++++⋯+
12(1)(1)
211222
n n n n n n -++=+=-+
-. 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法. 18.递增等比数列{}n a 的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.
（1）求{}n a 的首项和公比； （2）设2
2
2
12n n S a a a =++
+，求n S .
【★答案★】（1）2q =；12a =（2）2
24n n S +=-
【解析】 【分析】
（1）根据题意利用等比数列的性质，可得3
5
512a =，解出58a =．设公比为q ，得32
8a q =
且278a q =，由等差中项的定义建立关于q 的方程，解出q 的值，进而可得{}n a 的首项；
（2）由（1）得111(2)n n n a a q -+==，从而得到2
121[(2)]2n n n
a ++==，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求n S 的表达式．
【详解】（1）根据等比数列的性质，可得3
3575512a a a a ⋅⋅==，
解之得58a =.
设数列{}n a 的公比为q ，则32
8a q =
，2
7
8a q =， 由题设可得()22
81892(83)10q q ⎛⎫
-+-=-=
⎪⎝⎭
， 解之得2
2q =或
1
2
. ∵{}n a 是递增数列，可得1q >， ∴2
2q =，得2q =.
因此4
51148a a q a ===，解得12a =；
（2）由（1）得{}n a 的通项公式为112(2)(2)n n n a -+=⨯=， ∴2
1
2
n n a +=，
∵21
22n n
a a += ∴{}
2
n a 是以4为首项，公比等于2的等比数列. 因此()2222124122412
n n n n
S a a a +-=++⋯+==--.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项与性质、等差中项的定义和等比数列的前n 项之和公式等知识，属于中档题．
19.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南
2
(cos )10
θθ=
方向300千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
【★答案★】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.
【解析】
【分析】
设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰好在O 城，由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+，2cos ,4510a θθ==-︒724sin ,cos 105a θ==在POQ ∆中， 由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅.
【详解】解：设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰好在O 城，
由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+
2cos ,4510a θθ==-︒ 724sin ,cos 105
a θ∴== 由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅
即2224(6010)300(20)230020t 5
t t +=+-⨯⨯⨯
即2362880t t -+=
解得，1212,24t t == 2112t t -=
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.
20.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，
，，且2sin cos cos a A b C c B =+.
（1）求角A 的大小；
（2）若23bc =+，求
cos cos B C b c +的最小值. 【★答案★】（1）6
A π=
（2）23- 【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求得sin A ，得A 角；
（2）由余弦定理结合基本不等式得1a ≥，由2sin cos cos a A b C c B =+得cos cos 2sin 23
B C a A a a b c bc bc +===+，从而可得结论． 【详解】（1）因为2sin cos cos a A b C c B =+，
由正弦定理得：22sin sin cos sin cos A B C C B =+，
即22sin sin()A B C =+，所以22sin sin A A =.
又因为ABC 为锐角三角形，有sin 0A ≠， 所以1sin 2A =，则6
A π=. （2）由2sin cos cos a A b C c
B =+， 得cos cos 2sin 23
B C a A a a b c bc bc +===+. 又由余弦定理得2222cos 236a b c bc bc bc π
=+-≥-
(23)1bc =-=，当且仅当b=c 等号成立
所以1a ≥. 所以cos cos 2323
B C a b c +=≥-+. 即cos cos B C b c
+的最小值为23-. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是由正弦定理进行边角转换后快速求得A 角．本题属于中档题．
21.如图 ,在平面四边形ABDC 中，3,14ABC AB AD AB ，π∠=
⊥=. (Ⅰ)若5AC =,求ABC 的面积；
(Ⅱ)若46ADC CD π
∠==，，求sin CAD ∠.
【★答案★】（1）
12（2）25sin 5CAD ∠= 【解析】
分析： (Ⅰ)由余弦定理求出BC ，再用公式1sin 2S AB BC BC =
⋅∠求得面积； (Ⅱ)设CAD θ∠=，在ACD ∆中用正弦定理表示出AC ，然后在ABC ∆中把,BAC BCA ∠∠用θ表示后，再由正弦定理得θ的等式，从而可求出sin θ.
详解：
(Ⅰ)在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，
即2512BC BC =++，解得BC 2=
或22-(舍去)， 所以ABC 的面积1121sin 122222ABC S AB BC ABC =∠=⨯⨯⨯=. (Ⅱ)设CAD θ∠=，在ACD ∠中，由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD
=∠∠, 即41sin 2
AC θ=，所以2sin AC θ=. 在ACD 中，,24BAC BCA π
πθθ∠=-∠=-，则sin sin AC AB ABC CAD
=∠∠， 即13sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝
⎭，即224sin cos 2sin 22θθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin 2cos θθ=. 联立221sin cos θθ+=，解得25sin 5θ=，即25sin 5
CAD ∠=.
点睛：
在已知两边和一边对角时一般可用正弦定理求出另一边所对角，从而得三角形的第三角及第三边，也可直接利用余弦定理列出关于第三边的方程，解方程得第三边长.
22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且11a =，2(1)n n S n a =+，数列{}n b 满足：()2n a n n a b n N +=⋅∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ； （2）求证：122
n T ≤<. 【★答案★】(1) n a n =，(1)2
n n n S +=
；(2)证明见解析 【解析】
【分析】 (1)根据题意代入2n =即可求得2a ，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式n a 及前n 项和公式n S 即可.
(2)易得2n n n b =，再根据错位相减法求解n T ，进而证明122
n T ≤<即可. 【详解】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，则当2n =时，2223S a =，即()2222132a a a +=⇒=.
故211d a a =-=，故()11n a n n =+-=.此时(1)2(1)2n n n n S n n S +=+⇒=
. 故n a n =，(1)2
n n n S += (2)由n a n =可得，()2n n n b n N +=⋅∈，所以2n n n b =
故1231...n n n T b b b b b -=++++
12311231...22222n n n
n n T --=++++...① 234111231 (222222)
n n n n n T +-=++++...② ①-②：23111111 (222222)
n n n n T +=+++-
故111
111112221112222212n
n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--. 故222
n n n T +=-
.
因为02
n n n b =>，故n T 随n 的增大而增大，故1112n T T b ≥==. 又22n n +>0，故2222
n n n T +=-<. 综上所述，122n T ≤< 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于基础题.
感谢您的下载!
快乐分享，知识无限！。