针对演练 - 副本

圆的综合题(必考)
类型一 动点问题
(2018.25)
2. (2019秦皇岛海港区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点M 是△ABC 的中线AD 上一点，以M 为圆心作△M ，设半径为r .
(1)如图△，当点M 与点A 重合时，分别过点B ，C 作△M 的切线，切点为E ，F ，求证：BE ＝CF ； (2)如图△，若点M 与点D 重合，且半圆M 恰好落在△ABC 的内部，求r 的取值范围； (3)当M 为△ABC 的内心时，求AM 的长.
第2题图
3. (2019唐山一模)如图，OA ＝4，C 是射线OA 上一点，以O 为圆心，OA 的长为半径作AB ︵
，使△AOB ＝152°，P 是AB ︵
上一点，OP 与AB 相交于点D ，点P ′与P 关于直线OA 对称，连接CP .
尝试 (1)点P ′在AB ︵
所在的圆 (填“内”“上”或“外”)；
(2)AB ＝ ；
发现 (1)PD 的最大值为 ；
(2)当BP ︵＝2π，△OCP ＝28°时，判断CP 与AB ︵
所在圆的位置关系； 探究 当点P ′与AB 的距离最大时，求AP 的长. (注：sin76°＝cos14°＝
154
)
类型二 旋转问题
针对演练
(10年3考：2017.23，2013.24，2010.23)
3. (2019石家庄新华区质量检测)如图，在Rt△OAB 中，△AOB ＝90°，OA ＝OB ＝4，以点O 为圆心、2为半径画圆，点C 是△O 上任意一点，连接BC ，O C.将OC 绕点O 按顺时针方向旋转90°，交△O 于点D ，连接A D.
(1)当AD 与△O 相切时. △求证：BC 是△O 的切线； △求点C 到OB 的距离；
(2)连接BD ，CD ，当△BCD 的面积最大时，点B 到CD
的距离为 .
第3题图
4. (2018河北定心卷)如图△，已知△ABC ＝60°，AB ＝6，BC ＝10，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，保持半圆O 的位置不变，将射线CB 绕点C 顺时针旋转，所得射线与AD ︵
交于点E ，与线段AB 交于点F ，连接DE ，当点F 与点A 重合时，停止旋转.
【发现】CD 的长为 ；CE 的最小值为 ； 【思考】当DE △AB 时； (1)求BE ︵
的长；
针对演练
(2)计算OF的长；
【探究】如图△，过点D作半圆O的切线DG交CF于点G，当OF＝1时，求DG的长.
第4题图
类型三 动圆问题
(10年5考：2019.25，2016.25，2015.26，2012.25，2011.25)
5. (2019邢台一模)如图△，已知点A 、O 在直线l 上，且AO ＝6，OD △l 于点O ，且OD ＝6，以OD 为直径在OD 的左侧作半圆E ，AB △AC 于点A ，且△CAO ＝60°.
(1)若半圆E 上有一点F ，则AF
的最大值为 ； (2)向右沿直线l 平移△BAC 得到△B ′A ′C ′.
△如图△，若A ′C ′截半圆E 的GH ︵
的长为π，求△A ′GO 的度数； △当半圆E 与△B ′A ′C ′的边相切时，求平移距离.
第5题图
6. 如图△，在矩形ABCD 中，点E 以1cm/s 的速度从点A 向点D 运动，运动时间为t s ，连接BE ，过点E 作EF △BE ，交CD 于F ，以EF 为直径作△O .
(1)求证：△1＝△2；
(2)如图△，连接BF ，交△O 于点G ，连接EG .已知AB ＝4，AD ＝6.用含t 的代数式表示DF 的长； (3)连接OC ，当tan△BFC ＝3时，恰有OC △EG ，请直接写出tan△ABE 的值.
第6题图
类型四 折叠问题
针对演练
(2014.25)
2. (2019石家庄十八县一模)在扇形AOB 中，△AOB ＝75°，半径OA ＝12，点P 为AO 上任一点(不与A 、O 重合).
(1)如图△，Q 是OB 上一点，若OP ＝OQ ，求证：BP ＝AQ . (2)如图△，将扇形沿BP 折叠，得到O 的对称点O ′. △若点O ′落在AB ︵上，求AO ′︵
的长；
△当BO ′与扇形AOB 所在的圆相切时，求折痕的长. (结果保留根号)
第2题图
3. 如图，已知以AE 为直径的半圆圆心为O ，半径为5，矩形ABCD 的顶点B 在直径AE 上，顶点C 在半圆上，AB ＝8，点P 为半圆上一点.
(1)矩形ABCD 的边BC
的长为 ； (2)将矩形沿直线AP 折叠，点B 落在点B ′. △点B ′到直线AE 的最大距离是 ；
△当点P 与点C 重合时，如图△所示，AB ′交DC 于点M .求证：四边形AOCM 是菱形，并通过证明判断CB ′与半圆的位置关系.
第3题图
针对演练
参考答案
类型一 动点问题
2. (1)证明：如解图△，连接AE ，AF ， △BE ，CF 分别是△M 的切线， △△BEA ＝△CF A ＝90°. △AB ＝AC ，AE ＝AF ， △Rt△BAE △Rt△CAF . △BE ＝CF ；
第2题解图△
(2)解：如解图△，过点D 作DG △AB 于点G ， △AB ＝AC ＝5，AD 是中线， △AD △BC ，BD ＝DC ＝4. △AD ＝AB 2－BD 2＝3. △12BD ·AD ＝1
2AB ·DG . △DG ＝125
.
△当0<r <12
5
时，半圆M 恰好落在△ABC 的内部；
第2题解图△
(3)解：当M 为△ABC 的内心时，
如解图△，分别过M 作MH △AB 于点H ， MP △AC 于点P ， 则有MH ＝MP ＝MD ＝r ， 连接BM ，CM ，
△12AB ·MH ＋12BC ·MD ＋12AC ·MP ＝1
2
AD ·BC . 由(2)可得，AD ＝3，则12×5r ＋12×8r ＋12×5r ＝1
2×3×8，
△r ＝4
3
.
△AM ＝AD －MD ＝5
3
.
第2题解图△
3. 解：尝试(1)上；(2)215； 发现(1)3；(2)相切； 理由如下：
当BP ︵＝2π时，nπ×4180＝2π.
解得n ＝90，即△BOP ＝90°， △△AOB ＝152°， △△AOP ＝62°. 又△△OCP ＝28°， △△OPC ＝90°. △OP 是半径，
△CP 与AB ︵
所在的圆相切.
探究 如解图，作P ′E △AB 于点E ，
第3题解图
△点P ′在AB ︵
所在的圆上， △当P ′E 过圆心O 时，P ′E 最大， 连接P ′A ， 此时OE △AB ， AE ＝1
2AB ＝15.
△OA ＝4，
△OE ＝OA 2－AE 2＝1. △OP ′＝OP ＝4， △P ′E ＝P ′O ＋OE ＝5. △AP ′＝AE 2＋P ′E 2＝210.
又△点P′，P关于直线OA对称，△AP＝AP′＝210.
类型二 旋转问题
3. (1)△证明：△AD 与△O 相切， △△ADO ＝90°.
△△AOB ＝△COD ＝90°， △△AOB －△AOC ＝△COD － △AOC ，即△COB ＝△AOD ， △OB ＝OA ，OC ＝OD ， △△BOC △△AOD (SAS ). △△BCO ＝△ADO ＝90°. △BC 是△O 的切线；
△解：如解图①，过点C 作CE △OB ，垂足为点E ，则CE 即为点C 到OB 的距离. 在Rt△BOC 中，△OB ＝4，OC ＝2， △BC ＝OB 2－OC 2＝42－22＝2 3. △12OB ·CE ＝1
2BC ·OC ，即4CE ＝23×2， △CE ＝ 3.
△点C 到OB 的距离是3；
第3题解图①
(2)解：4＋ 2.
【解法提示】如解图②，当BO 的延长线与CD 垂直，即△BCD 是等腰三角形时，△BCD 的面积最大.∵OC ＝OD ＝2，∠COD ＝90°，∴△COD 是等腰直角三角形，∴OF ＝OC ·sin45°＝2×2
2
＝2，∴BF ＝OB ＋OF ＝4＋ 2.
第3题解图②
4. 解：【发现】7；79－3；
【解法提示】如解图△，连接OD ，△△OBD ＝60°，OB ＝OD ，△△OBD 是等边三角形.△AB ＝6，△BD ＝OB ＝3.△CD ＝BC －BD ＝7；如解图△，连接OC 交半圆O 于点E ，则此时CE 最小，过点O 作OH △BC 于点H ，
第4题解图△ 第4题解图△
在Rt△BOH 中，△OB ＝3，△OBH ＝60°，△BH ＝32，OH ＝332，△CH ＝BC －BH ＝10－32＝17
2.在Rt△COH
中，由勾股定理得OC ＝OH 2＋CH 2＝
（332）2＋（17
2
）2＝79，△CE 的最小值为OC －OE ＝79－3；
【思考】(1)如解图△，连接OE 、OD ， △△OBD 为等边三角形， △△BOD ＝60°， △DE △AB ，
△△ODE ＝60°， 第4题解图△ △OD ＝OE ，
△△ODE 为等边三角形， △△EOD ＝60°.
△△BOE ＝△EOD ＋△BOD ＝120°， △在扇形BOE 中，BE ︵的长为120π×3
180
＝2π；
(2)由(1)知△ODE 为等边三角形，△DE ＝OD ＝OB ＝3. △DE △AB ， △△CDE △△CBF ，
△CD BC ＝DE BF ，即710＝33＋OF ， 解得OF ＝97
；
【探究】分点F 在OA 上和点F 在OB 上两种情况讨论. △点F 在OA 上.
如解图△，△DG 是半圆O 的切线，△OD △DG ，即△ODG ＝90°， △△ODB ＝60°， △△GDC ＝30°.
延长DB 到点M ，使得BM ＝BF ，连接FM ， 则△M ＝△MFB ，
△△ABD ＝60°，
△△M ＝30°.
△△M ＝△GDC .
△△C ＝△C .
△△CDG △△CMF . △DG MF ＝CD CM . △BO ＝3，OF ＝1，
△BM ＝BF ＝4，
△MF ＝4 3.
△CM ＝BC ＋BM ＝14.
△DG 43＝714
. △DG ＝23；
△如解图△，点F 在OB 上，同△可得BM ＝BF ＝2，MF ＝23，CM ＝BC ＋BM ＝12， △DG 23＝712
，解得DG ＝736. 综上所述，当点F 在OA 上时，DG ＝23；当点F 在OB 上时，DG ＝736
.
第4题解图△ 第4题解图△
类型三 动圆问题
5. 解：(1)62；
(2)△如解图△，连接EG 、EH ，
△GH ︵＝△GEH 180°
×π×3＝π， △△GEH ＝60°.
△GE ＝EH ，
△△GEH 是等边三角形.
△△HGE ＝△EHG ＝60°.
△△C ′A ′O ＝60°＝△HGE ，
△EG △A ′O .
△△GEO ＋△EOA ′＝180°.
△△EOA ′＝90°，
△△GEO ＝90°.
△GE ＝EO ，
△△EGO ＝△EOG ＝45°.
△△A ′GO ＝180°－60°－45°＝75°；
第5题解图△
△如解图△，当C ′A ′切半圆E 于点Q 时，连接EQ 、A ′E ，则△EQA ′＝90°， △△EOA ′＝90°，
△A ′O 切半圆E 于点O ，
△△EA ′O ＝△EA ′Q ＝12
×60°＝30°. △OE ＝3，
△A ′O ＝3 3.
△平移距离为AA ′＝6－3 3.
第5题解图△
6. (1)证明：△四边形ABCD 是矩形，
△AD △BC ，△A ＝△ADC ＝90°，
△△AEB ＝△1，
△EF △BE ，
△△AEB ＋△DEF ＝90°，
△△2＋△DEF ＝90°，
△△AEB ＝△2，
△△1＝△2；
(2)解：△△A ＝△ADC ＝90°，△AEB ＝△EFD ，
△△ABE △△DEF ，
△AB DE ＝AE DF
， △AB ＝4，AE ＝t ，DE ＝6－t ，
△46－t ＝t DF
， △DF ＝6t －t 24
； (3)解：tan△ABE ＝1.
【解法提示】如解图，过点O 作OH ⊥CD 于点H ，
∵tan ∠BFC ＝BC CF
＝3， 设CF ＝a ，BC ＝3a ，
∵AE ＝t ，
∴DE ＝3a －t ，
∵OH ⊥CD ，AD ⊥CD ，
∴OH ∥DE ，
∵OF ＝OE ，
∴OH ＝12DE ＝3a －t 2
， ∵OC ∥EG ，EG ⊥FG ，
∴OC ⊥FG ，
∴tan ∠COH ＝tan ∠BFC ＝3，
∴CH ＝3OH ＝9a －3t 2，FH ＝CH －CF ＝7a －3t 2
， ∴DF ＝7a －3t ，AB ＝DC ＝DF ＋CF ＝8a －3t ，
由△ABE ∽△DEF ，得，AB DE ＝AE DF
， 即8a －3t 3a －t ＝t 7a －3t
， 解得：t 1＝2a ，t 2＝145
a (舍)， ∴tan ∠ABE ＝AE AB ＝t 8a －3t ＝2a 8a －6a
＝1.
第6题解图
类型四 折叠问题
2. (1)证明：△BO ＝AO ，△O ＝△O ，OP ＝OQ ，
△△BOP △△AOQ .
△BP ＝AQ ；
(2)解：△如解图△，点O ′落在AB ︵上，连接OO ′，则△BOO ′是等边三角形，
△△O ′OB ＝60°.
△△AOB ＝75°，
△△AOO ′＝15°.
△lAO ′＝15×π×12180
＝π； △BO ′与扇形AOB 所在的圆相切时，如解图△所示，
△△OBO ′＝90°.
△△OBP ＝45°.
过点O 作OC △BP 于点C ，
△OA ＝OB ＝12，△COB ＝△OBP ＝45°，
△OC ＝BC ＝6 2.
又△△AOB ＝75°，△COB ＝45°，
△△POC ＝30°，CP ＝OC ·tan 30°＝2 6.
△BP ＝26＋6 2.
△折痕的长为26＋6 2.
第2题解图
3. (1)解：4；
【解法提示】如解图①，连接OC .
在Rt △BOC 中，∵∠OBC ＝90°，OC ＝5，OB ＝3，∴BC ＝OC 2－OB 2＝52－32＝4.
(2)①解：8；
【解法提示】如解图①，当点B ′在直线AD 上时，点B ′到 AE 的距离最大，最大距离为8. ②证明：如解图②，连接AC ，
由折叠可知：∠OAC ＝∠MAC .
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠OCA＝∠MAC.
∴OC∥AM.
又∵CM∥OA，
∴四边形AOCM是平行四边形.
又∵OA＝OC，
∴四边形AOCM是菱形.
结论：CB′与半圆相切.
理由：由折叠可知：∠AB′C＝∠ABC＝90°.
∵OC∥AM，
∴∠AB′C＋∠B′CO＝180°.
∴∠B′CO＝90°.
∴CB′⊥OC.
∴CB′与半圆相切.
第3题解图。