数学物理方法第十章 格林函数法

上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
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§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
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§10 格林函数(hán
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§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
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§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
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§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
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2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
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§10 格林函数(háns
u(M )
G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
f
(M
0)
n0
G(M
,
M
0
)d 0
只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式u (M)就都为已知量表示
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§10 格林函数
G(M,M0)所构成(gòuchéng)的定解问题即
G(M , M 0 ) (M M 0 ),
G(M , M 0 ) 0
（1）G(M , M 0 ) u(M ) (3)得：
G(M , M 0 )u(M ) u(M )G(M , M 0 )
u(M ) (M M 0 ) G(M , M 0 )h(M )
对M（x,
y,
z
)积分，注意G
(
M
,
M
0
)以M
为奇点
0
（在M0挖去 1的小球体体积元）同时利用
第二格林函数，有
三、积分(jīfēn)公式——格林函数法
目标(mùbiāo)：求解
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§10.1 点源函数(hánshù)法回顾
§10 格林函数(háns
(3)
由于(yóuyú)
其中 r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0为)2M与M0之间的距离
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§10 格林函数(hánsh
G(M , M0)d0
（4）
其中，d0, d0分别表示在区域中体分布源和 面分布源
内对M
取体积元和面积元。
0
n0
表示对M
求导。
0
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§10 格林函数(hánsh
u(M ) G(M , M0)h(M0)d0
G(M, M0)
u n0
d 0
u(M0)
n0
G(M , M0)d0
物理意义：
（1）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源h(M0)在M点产 生的场的总和； （2）右边第二、三积分项则是边界(biānjiè)上的源所产生的场。这 两种影响都是由同一格林函数给出的。
若要求(yāoqiú)G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即
n
G
(M
,
M
0
)
G
(M
,
M
0
)
0
则当G(M,M0)乘
，以u(M)乘上式再相减，得
G
(M
,
M
0
)
u n
u
(
M
)
n
G
(M
,
M
0
)
1
G(M , M0)g(M )
代入基本(jīběn)积分公式，得
u(M )
G(M
,
M0 )h(M
0
)d 0
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§10 格林函数(hánsh
负号来自(lái zì)内小球面 的法向与矢径方向相反
于是有：
(G
u n
u
G )d
n
u(M 0 )
G(M
,
M0
)h(M
)d
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§10 格林函数(hánsh
上式的物理(wùlǐ)意义很难解释清楚，右边第一项，G(M,M0)
代表M0点的点源在M点产生的场，而h (M)代表的却是M 点的源。
n 共二十六页
§10 格林函数(háns
从物理上看，其意义(yìyì)十分明显。方程 G(M , M 0 ) (M M 0 )
可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件
G 0 n
表示在边界上是绝热的，由于(yóuyú)边界绝热，从点源出来的
热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。
1Leabharlann G(M , M 0 )g(M 0 )d 0
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§10 格林函数(hán
由上面(shàng miɑn)的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程
u h(M ),M
可以先在相应的同类(tónglèi)齐次边界条件下解格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
再通过基本积分公式得到 u (M)。
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§10 格林函数(háns
同理有：
vu d vud v ud
两式相减，有
(uv vu) d (uv vu)d
即： (u
v n
v
u )d
n
(uv
vu)d
此式称为(chē格nɡ w林éi) 第二公式
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§10 格林函数(háns
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§10 格林函数(hán
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§10 格林函数(hánsh
由
边界条件变为
u 1 g(M )
n
基本(jīběn)积分公式变为
u(M )
G(M
,
M
0
)h(M
0
)d
0
1
G(M , M 0 )g(M 0 )d 0
但此式不存在(cúnzài)，因为G(M , M 0 ) (M M 0 ) 在第二类
齐次边界条件
G 下0 无解。
注意(zhùyì)到格林函数的对称性G：(M , M 0 ) G(M 0 , M )
将上式中的G(M0,M)用G(M,M0)代替且，将M和M0在公式
中互换，可得
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§10 格林函数(háns
u(M ) G(M , M0)h(M0)d0
G(M, M0)
u n0
d 0
u(M0)
n0
M
下式称为(chēnɡ wéi)泊松方程的狄氏问题
u h(M ), M
u f (M )
满足狄氏问题的格林函数(hánshù)，简称为狄氏格林函数。
u(M )
G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
f
(M
0
)
n0
G(M
,
M
0
)d
0
——狄氏积分公式
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(B)第二类边界条件 0
1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且
边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。
2)且不同泊松方程的非齐次项h(M)和边界条件中的不同g(M)， 只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方
程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。
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内容(nèiróng)总结
积分变换法：无界区域的定解问题，。的解的积分表达式，首先 引入格林公式。三、积分公式——格林函数法。上式的物理意义很 难解释清楚，右边第一项，G(M,M0)。（2）右边第二(dìèr)、三积分 项则是边界上的源所产生的场。——狄氏积分公式。热量，会使体 积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。显然，为了解决这 一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程。可以先在相应的同类齐 次边界条件下解格林函数所满足的方程。这就将泊松方
的解的积分表达式，首先引入格林公式
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§10 格林函数(hánsh
二、格林公式(gōngshì)
设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在区域 直到边界 上
具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导
数，则由高斯公式有：
化为体积分
uv d (uv)d
uvd u vd
此式称为(chēnɡ格wéi)林第一公式
|a|
8、（x
x0 )
d dx
H(x
x0 ),
0 H (x x0 ) 1
x<x0 x>x0
9、函数的付氏变换为1，拉氏变换也为1。
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§ 10.2 泊松方程(fāngchéng)的边值问题
一、泊松方程的基本形式
§10 格林函数(háns
其中， , 为不同时为零的常数(chángshù)。为了得到定解问题(1)(2)
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§10 格林函数(háns
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§10 格林函数(hán
4、 [ ( x)]
k i 1
|
(x xi
(xi )
) |
,
其中xi是
(
x)
0的单根
5、函数是偶函数， 函数是奇函数
6、x (x) 0; x (x) (x)
7、 (ax) 1 (x); (x) (x a) (a) (x a)