08-不确定度关系的严格证明

19
四、
例2
共坐标同本r(征x, 函y, z数) 的(4共) 同本征函数(2)
同理
y ( y yo ) y0 ( y yo ) y (r ro ) y0 (r ro ) z (z zo ) z0 (z z0 ) z (r ro ) z0 (r ro ) (r ro )是y(或z)属于本征值y0(或z0)的本征态。 x0y0z0 (r ) (r ro ) (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
量子力学
连续谱本征函数的归一化 不确定关系的严格证明 算符的共同本征函数
1
回顾
算符的对易关系： 坐标动量基本对易关系 [x, pˆ x ] i
厄米算符定义Aˆ Aˆ A~ˆ *
厄米算符的性质
实验上的可观察量，厄密算符。
厄米算符的本征值及本征态：
角动量算符、及对易关系
2
目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的”归一化”与δ函数 三、不确定度关系的严格证明 四、算符的共同本征函数 五、习题
)＝
1
2
eik ( x x0 )dk

(3)
7
二、连续谱本征函数的“归一化”与δ函数（3）
（三）连续谱本征函数的“归一化”(1)
动量本征态为 px C exp(ipx x / )，若取C
1
2
则 px
ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
i
e
pxx
，做积分（
px
,
px
)

dx *
[ p , pˆ ] 0(, x, y, z)
( px , py , pˆz )拥有共同本征态，即平面波
p (r ) eipr / ei( pxx py y pzz)/
px i x
e e e ipxx/ ipy y / ipzz / px (x) py ( y) pz (z)
（二）δ函数的积分表达式
f (x)在x x0的一个邻域内连续，则

f (x0 ) f (x) (x x0 )dx
(1)
由Fourier积分公式，有
f
( x0
)＝
1
2

dx

f ( x)eik ( xx0 )dk
－
(2)
对比(1)和(2),有

(
x

x0
一、连续谱本征函数（2）
2、一维自由粒子的能量本征态
一维自由粒子的Hamilton量为Hˆ

pˆ x2 2m


2
2m
2 x2
能量本征方程为 2 2 E
2m x2
E (x) Ceikx , E 2k 2 / 2m 0, k 2mE / 0
E (x) Ceikx也是连续谱本征函数，也不能用通
m ()
1 eim , m 0,1,2,,
2
21
四、共同本征函数(6)
设lˆ2的本征函数为Y ( ,)，本征值为 2，
则本征方程为 lˆ2Y ( ,) 2Y ( ,)
将Y ( ,)分离变量：Y ( ,) ( ) f ()
l 2和lˆ z 有共同本征函数，Y ( ,)也是l z
AB ? 结论：AB | [ Aˆ, Bˆ] | 2
波函数， R(实数域)
做积分I ( ) | Aˆ iBˆ |2 d 0
构造一 个恒正 的积分
0 I ( ) ( Aˆ iBˆ )*( Aˆ iBˆ )d
常的方式归一化。
5
二、连续谱本征函数的“归一化”与δ函数（1） （一）δ函数的定义与性质
1、定义

(
0, x),
x x

0 0
,
或
(
x

x0
0, x ), x

x0 x0
2、性质 (1) (ax) 1 (x); (2) (x) (x);
|a|

x0 (x) y0 ( y) z0 (z). x (x) 0 (x x0 ) (x x0 ) 0 x (x x0 ) x0 (x x0 ) 两边乘 ( y y0 ) (z z0 ) x (r ro ) x0 (r ro ) (r ro )是x属于本征值x0的本征态。
(3) (x)dx
(x)dx 1 ( 0);(亦可作为定义)



(4) f (x) (x a)dx f (a); (5)x (x) 0

(6) (x a) (x b)dx (a b);
6
二、连续谱本征函数的“归一化”与δ函数（2）
3
一、连续谱本征函数（1）
1、动量x分量的本征值与本征函数
设本征函数和本征值为 和px ,
pˆ x i
,i x

x

px

px C exp(ipx x / ).
x (, ),则px (, ), 连续变化。
px 连续谱本征函数
不能用通常的方式归一化。 4
4 A2
A2 B2 C / 2 | [ Aˆ, Bˆ] | / 2
14
三、不确定度关系的严格证明(5)
A2 B2 C / 2 | [ Aˆ, Bˆ, ] | / 2 A, Bˆ 厄密，A A Aˆ A, B B B B Aˆ , Bˆ 厄密，
d[ 2 ( Aˆ )* Aˆ i ( Aˆ )* Bˆ
i (Bˆ )* Aˆ (Bˆ )* Bˆ ]
11
三、不确定度关系的严格证明(2)
0 I ( ) d[ 2 ( Aˆ )* Aˆ i ( Aˆ )* Bˆ i (Bˆ )* Aˆ (Bˆ )* Bˆ ]
是x, y, z的共同本征态
20
四、共同本征函数(5)
例3 (lˆ2 ,lˆz ) 的共同本征态
球坐标下，lˆz

i


lˆ2
2
s in


s in



1
sin 2
lˆz2
[lˆ2 , lˆz ] 0,lˆ2和lˆz可以拥有共同本征函数。
已知lˆz的本征值和本征函数为：lz m,
2 ( , Aˆ 2 ) i ( ,[ Aˆ, Bˆ] ) ( , Bˆ 2 )
2 ( , Aˆ 2 ) ( ,Cˆ ) ( , Bˆ 2 )
其中，Cˆ i[ Aˆ, Bˆ] Cˆ
厄密算符?
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三、不确定度关系的严格证明(4)
即px p px p , pˆ y p py p , pz p pz p
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四、
例2
共坐标同本r(征x, 函y, z数) 的(3共) 同本征函数(2)
[, ] 0(, x, y, z),(x, y, z)拥有共同本
征态: (r ro ),记为 x0y0z0 (r ),即 x0y0z0 (r ) (r ro ) (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
0,
x

x x
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二、连续谱本征函数的“归一化”与δ函数（5） （四）连续谱本征函数的“归一化”困难
无论动量( px , px )
（px

px)
,px

0,
p
x

px p
还是坐标( x, x )

（x

x )
意义：力学量A, B，系统状态
若A与B不对易，即 [ Aˆ, Bˆ, ] 0, 则A与B不能同时为零， 即A与B不能同时测定。 例如，Aˆ x, Bˆ px , [x, pˆ x ] i xpx / 2
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四、共同本征函数(1)
设 Aˆ A A A , Bˆ B B B
的本征函数，又 lˆ z只对起作用，
f () m ()
1 eim , m 0, 1, 2,,
2
为什么
22
四、共同本征函数(7)
将Y ( ,) ( ) m ()代入lˆ2Y ( ,) 2Y ( ,)
2 [
s in


s in



1
sin 2
lˆz2 ]( ) m ()
2( ) m ()
(A)2 (B)2 | [Aˆ, Bˆ ] | / 2, 又 [A, B] [ Aˆ, Bˆ ]
(A)2 (B)2 | [ Aˆ, Bˆ ] | / 2 简记为 AB | [ A, B] | / 2
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三、不确定度（测不准）关系的严格证明(6)
AB | [ A, B] | / 2
0 I ( ) 2 ( , A2 ) ( , Cˆ ) ( , Bˆ 2 )
2 A2 C B2 A2 ( C )2 [B2 C 2 ]
2 A2
4 A2
R,且A,C R,可令＝ C
2 A2
I ( ) B2 C 2 0 A2 B2 C 2 / 4
若[ Aˆ, Bˆ ] 0 A不能是Bˆ的本征函数

不能
B
是Aˆ 的本征函数
即，Aˆ 和Bˆ不能有共同的本征函数
若[ Aˆ, Bˆ ] 0，可能存在，使
Aˆ A , Bˆ B
此时，称为Aˆ 和Bˆ的共同本征函数。
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四、共同本征函数(2)
例1 动量 pˆ ( pˆ x , pˆ y , pˆ z )的共同本征函数。
注意( , Aˆ ) *Aˆ dx
I ( ) 2 ( Aˆ , Aˆ ) i ( Aˆ , Bˆ ) i (Bˆ , Aˆ ) (Bˆ , Bˆ )
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三、不确定度关系的严格证明(3)
0 I ( ) 2 ( Aˆ , Aˆ ) i ( Aˆ , Bˆ )
px px
则（
px
,
px
)

1
2
i ( px px ) x
e dx
1

2
e dx i( px px ) x

对比(3)式：（x

x0 )

1
2
eik ( xx0 )dk

有（
px
,
px
)

（px
i (Bˆ , Aˆ ) (Bˆ , Bˆ ) 为什么
2 ( , Aˆ 2 ) i ( , Aˆ Bˆ ) i ( , BˆAˆ ) ( , Bˆ 2 )
( A , A ) ( , A2 ) (B , A ) ( , BA )
做积分( x , x )



*
x
x
dx
则( x , x )

(x x) (x x)dx

已知 (a b)

(x a) (x b)dx

有(
x
,
x
)

（x

x)

, x

,x

0,x


x x
都没有严格地解决归一化的问题。这就是量子力
学中连续谱波函数的归一化困难。解决的方式有
1、箱归一化方法，曾谨言，量子力学，上册
科学出版社，1984
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三、不确定度关系的严格证明(1)
对x和pˆ x , 有xpx 2 Aˆ 和Bˆ 为厄密算符，

px)

,

0,
px px

px p
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二、连续谱本征函数的“归一化”与δ函数（4）
（三）连续谱本征函数的“归一化”(2)
x (x) 0,(x x) (x x) 0 x (x x) x (x x)
x (x) (x x)为坐标本征态,x为本征值