第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法

❖ 由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静 水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应 力计算的处理。
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第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
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❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
* ij
中使泛函：
M
2
3
S
V
ijij dV SF Fiui dS
的变分为零，即： M 0 ，且取极小值的 u i ，必为本问题的真实解。
在忽略体力的情况下，式5-11 还可写成另一种形式，即
V A ij dV Sp pividS V ij ijdV
式中：
A ij 2k ijij
(5-12)
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注意在刚塑性有限元中，利用的屈服准则是密赛斯屈服条件，它的 一阶导数是连续的，在计算中一般略去体力，并设外力在变形过程 中不变。
ijn j pi
(5-8) (5-9)
ui ui
(5-10)
利用上述方程和边界条件，虽然在理论上是可以求解的，但实际上很 困难，只有在几种简单情况下才能求出解析解。
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刚塑性有限元法借助于变分原理可求出近似解， 对变形场的位能泛函进行变分，当变分取得驻值时，变形场满足 平衡微分方程和力学边界条件。 处理体积不变条件的方法有两种： 一是在假设初始速度场时，除了满足速度边界条件以外，还应严 格满足体积不变条件，这种方法给假设初始速度场带来困难。 另一种方法是假设初始速度场只满足速度边界条件，而对体积不 变引入约束条件，即拉格朗日乘子进行有条件变分。这种方法在 运算中较易实现，目前已得到广泛应用，
❖ 通常采用拉格朗日乘子法、罚函数法及修正罚函数法来构造新的泛函。
❖ 通过这样的方法将体积不可压缩条件引入后，便能求静水压力 m ，
从而解决了因忽略材料的弹性数值模拟
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5.2 刚塑性增量理论的广义变分原理
欲求解变形体在塑性变形时的场变量，首先要建立基本方程组。
0
(b)
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由虚功率原理得：
V iji*j dV S Fiui*dS S Fiui dS
(c)
将(c)式代人(b)式得：
V iji*j dV S Fiui dS S Fiui dS
(d)
注意，在Su上。将(d)式代人(e)式有：
(Lagrangian) 乘子 aij a ji ， i 和 ，将运动许可解所必须满足的
条件引入泛函中， 则得到新的泛函：
*
2
3
S
V
ijij dV
SF FiuidS
V
aij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
V ijij dV Su i ui ui dS
(*)
S Fiui*dS
2
3
S
V
ij ij dV SF FiuidS
因此，泛函取最小值，
* m
M
于是第一变分原理得证
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5.1.3 完全广义变分原理
在第一变分原理中，所选择的速度场必须满足(1)，(2)和(3)式，
实际问题中，有些条件比较容易满足，而有些条件则不易满足。 为了容易选择速度场，应用条件变分的概念，引用拉格朗日
2k V ij ij dV Sp pividS V ijijdV V FividV
式中：Sp 变形体边界中应力边界部分； δ 克罗内克尔（Kronecker）符号。
(5-11)
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刚塑性不完全的广义变分原理认为：
在所有满足速度-应变速率关系和速度边界条件的 vi 中，使泛函 式 5-11 取得驻值的 vi 是真实解。
刚塑性体：
dV
V
SF FiuidS
刚粘塑性体：
E
V
ij
dV
SF FiuidS
(***)
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❖ 解决的问题是寻找某种方式将体积不可压缩条件(2)式引入泛函(***)中， 构成新的泛函，使问题转变成对新泛函的无条件的驻值问题。
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5.2.1 基本方程
基本方程如下：
微分平衡方程或运动方程:
ij, j Fi 0
速度与应变速率的关系：
ij
1 2
i, j
j,i
式中： i 速度； ij 应变速率
列维—密赛斯应力—应变速率关系： ij d Sij
(5-1) (5-2)
V
* *
ij ij
dV
SF Fiui*dS
Su Fiui dS
(e)
将(a)式代人(e)式有：
V
* ij
i*j
dV
SF Fiui*dS
V ijij dV
SF Fiui dS
(f)
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即：
V
* *
ij ij
dV
(5-3)
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假设材料符合密赛斯屈服准则，即:
1 2 Sij Sij
k2
3 2
Sij Sij
2
式中 k 是变形过程的函数，如材料是理想刚塑性体时， k=const
式 5-3 两边平方后得：
ijij d 2 SijSij
将式5-4 代入式5-5 整理后得： d ijij
变分近似满足。所以，由第一变分原理计算的近似解较广义变分 原理得到的解更精确。但前者在预选满足运动许可条件的速度场 时比后者困难。
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5.2.3
❖
不完全广义变分原理
在选取运动许可解 u i 和 ij 时，可将其应满足的三个条件中的任意
* 1
2
3
S
V
ijij dV SF Fiui dS V ij ij dV
(**)
可以证明，在一切满足应变速率与速度关系和速度边界条件的 u i 中，使泛函(**)式取驻值的 u i 为真实解。
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❖ 按照Markov变分原理求解时，面临速度场选取的困难。因而在实 际求解时常采用不完全广义变分原理求解塑性变形过程。 对刚塑性体和刚粘塑性体，按Markov变分原理确定的泛函为：
在任意选取的 u i、ij中，真实解使(*)式的泛函取驻值，这就是刚塑性
完全广义变分原理。
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第一变分原理和完全广义变分原理对比
❖ 第一变分原理所选择的 u i 和 ij 只要求满足运动许可条件，而
静力许可条件是通过变分近似满足的。
❖ 据广义变分原理预选的 u i 和 ij 不受任何约束，所有的方程均由
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5.1.1 刚塑性材料基本假设
对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中 的某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：
(1) 不计材料的弹性变形；
(2) 材料的变形流动服从 Levy- Mises 流动法则；
下面对这种方法进行详细论述。
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5.2.2 不完全的广义变分原理
刚塑性有限元计算需要先选择初始速度场。在选择初始速度场 时，速度边界条件容易满足，而体积不可压缩条件较难满足。因此， 把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子引入泛函中去。这种有条件的 但并非将所有条件引入泛函的变分称之为不完全的广义变分，所建 立的泛函为：
❖ 刚塑性有限元法的求解过程
(1) 离散化处理； (2) 单元分析的基础上集合成总体方程组； (3) 刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非线性方程组，还须
线性化处理并采用迭代方法求解。
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刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下5种： (1)流函数法； (2)拉格朗日乘子法； (3)罚函数法； (4)泊松系数v 接近0.5法； (5)材料可压缩性法。
(3) 材料是均质各向同性体；
(4) 材料满足体积不可压缩性；
(5) 不计体积力与惯性力；
(6) 加载条件(加载面)给出刚性区与塑性区的界限。
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5.1.2 第一变分原理
刚塑性材料的第一变分原理又称为马尔柯夫(Markov)变分原理, 其为：
2k
(5-4)
(5-5) (5-6)
将式5-6 代入式5-3 可得：
Sij
2k
ij ij
ij
这就是符合密赛斯屈服准则的应力应变关系式。
(5-7)
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体积不可压缩条件:
ijij 0
边界条件: 边界条件分为力学边界条件和位移边界条件，分别为：
对于有硬化的材料，假设剪切屈服极限在一小段范围内是常数，采 取台阶形硬化曲线来代替真实硬化曲线，这样处理可大大简化变分 的运算。
下面证明这一原理。
刚塑性有限元法的理论基础是变分原理，它认为在所有动可容的速 度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可 以计算出各点的应变和应力。
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➢泛函是函数的函数; ➢在泛函进行变分时根据其有无附加条件而分为一般变分和
广义变分或条件变分； ➢广义变分又分为不完全广义变分和完全广义变分。
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证明：设真实解为 ui , ij 和 ij ，而许可解 ui* ,i*j
由屈服条件和本构方程有：
ij
3 2
klkl S
ij
(a)
则有：
2
3
S
ijij 'ij ij
由最大塑性功原理，有：
V
* ij
ij
i*j dV
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5.1 刚塑性有限元法及其变分原理介绍
刚塑性有限元法是在1973 年提出来的，这种方法虽然也基于小应变 的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料 在塑性变形时的体积不变条件。
它可用来计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，现已广泛应 用于分析各种金属塑性成形过程。
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❖ 对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分 ( 弹性应变与塑性应变之比通常在1/100～1/1000 )，因而可忽略弹 性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。
❖ 采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。 ❖ 与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足