人教A版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数

答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;


(2)4. ,4. ;
(3)
-
,

-
.

解:(1)设 f(x)=x3,因为 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,又 1.1<1.2,
所以 f(1.1)<f(1.2),即 1.13<1.23.
+ < ,
-1
-1
则由(a+1)பைடு நூலகம்<(3-2a) ,得
或 a+1>3-2a>0 或
- >


3-2a<a+1<0,解得 a<-1 或 <a< .


故实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪

,
.

防范措施
此类问题必须在各个单调区间内分别进行求解,也可以结合
函数的图象来求解.
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
二象限或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
2.幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系
具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时
针”方向,图象所对应的幂指数依次增大
(如图).
3.根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调
性确定y=xα中α的符号.
的图象并指出该函数的定义域与单调区间.

解:∵函数 f(x)的图象过点 P(2, ),

α


∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
？
3.3
幂函数
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
自主预习·新知导学
一、幂函数的定义

1.给出函数:y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, y= ,这些函数的解析式有
什么共同的特征?这类函数解析式的一般形式应如何表示?
提示:解析式是幂的形式,底数是自变量x,指数是一个常数;一
(2)设

f(x)= ,因为
f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,


4. <4. .
又 4.8<4.9,所以 f(4.8)<f(4.9),即
(3)设 f(x)=x-1,因为 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,
又 f(x)是奇函数,
所以 f(x)在区间(-∞,0)内单调递减.

因为->-,所以
正?你如何防范?
提示:函数f(x)=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内均单调递减,但在区
间(-∞,0)∪(0,+∞)内不具有单调性,错解中错用了函数的单调
性,从而导致错误.
正解:由于幂函数f(x)=x-1在区间(-∞,0)及(0,+∞)内均单调递减,
且在区间(-∞,0)内有f(x)<0;在区间(0,+∞)内有f(x)>0,
(1)函数y=x0是幂函数.( √ )
(2)所有幂函数的图象均过点(0,0).( × )
(3)幂函数一定具有奇偶性.( × )
(4)任何幂函数的图象都不经过第四象限.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一 幂函数的图象及其应用

α
【例 1】 已知幂函数 f(x)=x 的图象过点 P(2, ),试画出 f(x)

y= 的图象,结合图象分析、研究它们的定义域、值域、奇
偶性、单调性,并由此推断幂函数具有的性质.
2.


函数
y=x
y=x
y=x
定义域
值域
R
R
R
[0,+∞)
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
在(-∞,0)内
单调递减,
在[0,+∞)内
单调递增
在(-∞,0)内单
在
在[0,+∞)
(-∞,+∞)
调递减,在
内单调
【变式训练】 已知幂函数 f(x)=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴




对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,
般形式可用y=xα表示.
2.填一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数.
3.下列函数中是幂函数的是(
)
A.y=3x
B.y=x2+1
C.y=(x+1)4
D.y=
答案:D
二、五个幂函数的图象与性质
1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,
内单调
(0,+∞)内单
递增
递增
调递减
在
(-∞,+∞)
单调性
内单调
递增
图象特征 过点(1,1)
2
3
y=
[0,+∞)
[0,+∞)
非奇非
偶函数
y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
3.幂函数的性质:
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,图象都过点(1,1);
(2)若α>0,则y=xα在区间(0,+∞)内单调递增,图象过点(0,0);若
α<0,则y=xα在区间(0,+∞)内单调递减,图象不过点(0,0).
4.(多选题)关于函数y=x4,下列说法正确的是(
)
A.定义域为R
B.在区间(0,+∞)内单调递增
C.图象不过点(0,0) D.是偶函数
答案:ABD
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
数不同,指数相同时,可以首先构造一个幂函数,然后根据指数
值的正负确定该幂函数在区间(0,+∞)内的单调性,比较两个底
数的大小,即得两个幂值的大小关系.


【变式训练 2】 函数 y= 的图象大致是(


-
)
解析:因为函数 y= 的定义域为(0,+∞),且在区间(0,+∞)内为
减函数,所以D项正确.
f

-
<f

-
,即
-
-
<
-
- .
若将本例(1)改为:已知(a-2)3>(2a+1)3,试求实数a的取值范围.
解:令f(x)=x3,容易判断f(x)为奇函数,且在R上为增函数,因此
由(a-2)3>(2a+1)3,可得a-2>2a+1,解得a<-3.
反思感悟
利用幂函数的单调性可以比较幂值的大小,当两个幂值的底
【变式训练】 (1)若幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直
角坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(
)
A.d>c>b>a
C.d>c>a>b
B.a>b>c>d
D.a>b>d>c


(2)函数 y= -1 的图象关于x轴对称的图象大致是(
)
解析:(1)在第一象限内,直线 x=1 的右侧部分的图象,图象由下


-




-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,


∴2a-1>3-a>0 或 0>2a-1>3-a 或 2a-1<0<3-a,解得<a<3 或 a<.




故实数 a 的取值范围为 <a<3 或 a< .
十年寒窗磨利剑，
一朝折桂展宏图！
至上,对应幂函数的幂指数依次增大,所以 a>b>c>d.故选 B.


(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图




象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平


移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:D
易 错 辨 析
因对幂函数的单调性理解不全面致错
【典例】 若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围.
错解:因为幂函数 f(x)=x-1 为减函数,所以由(a+1)-1<(3-2a)-1,得

a+1>3-2a,解得 a> .

故实数 a 的取值范围是

,
+
∞
.

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改