苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 不等式 用基本不等式求最值问题

4.当题目中给出某个等量关系，而没有直接给出定值时，需要通过化简得到.
跟踪训练2（1）已知 > 0, > 1， + =
1
3,求

9
+
的最小值.
−1
解由题意，得 + ( − 1) = 2， > 0, − 1 > 0，
1
则

9
+
−1
当且仅当
=
1
[
2
9
−1
=
+ (
1
− 1)](
− > ，则由基本不等式，得
≤
(
+−
)


=

，当且仅当


)取得最大值时，的值为 .故选D.

= − ，即 =

时，等号成立，

（2）已知 > 1，求4 + 1 +
1
的最小值.
−1
解因为 > 1，所以 − 1 > 0，
所以4 + 1 +
1
−1
= 4( − 1) +
当且仅当4( − 1) =
所以4 + 1 +
1
，即
−1
1
的最小值为9.
−1
1
−1
3
2
+ 5 ≥ 2 4( − 1) ⋅
= 时,等号成立，
1
−1
+ 5 = 9，
【题型二】“二元”最值问题
角度1 二元配凑法
例2已知 > 2, > 1，满足( − 2)( − 1) = 2，若不等式 + 2 > 恒成立，则实
− = − ，即 = = + 时，等号成立.
又 − =
−=


，所以
−
−

，即
−

+
−
=−

+
−
= + 时，等号成立.
故答案为 ； .
≥ ( − ) ⋅

−
= ，当且仅当
角度5 解不等式法
2 3
2 + 2 的最小

==

时，等号成立，故

+ 的
题后反思题目中同时出现， 2 + 2 或( + )2 时，可通过化简变为“一元”二次不
等式进行求解.如例6中，将( + )2 看成是“一元”.
跟踪训练3（1）设 ≥ 0, ≥
2
2
3 2
D.
4
A.1B. C.
故 +
,
= +
数的取值范围是() C
A.(8, +∞)B.(4, +∞)C.(−∞, 8)D.(−∞, 4)
[解析]因为 > , > ，所以
+ = ( − ) + ( − ) + ≥ ( − ) ⋅ ( − ) + = ，
当且仅当 − = ( − )，即 = ， = 时,等号成立.

−
,即 = 时，等号成立.故答案为[ , +∞).
−

≥


+


=

，

题后反思 二元求最值，只要题目中给出等量关系都可以通过消元法进行化简，但有
时利用消元法消元之后还要通过配凑求最值.
角度4 因式分解——配凑法
2 3 3 + 7 的
例5若正实数，满足 + + 2 = ，则 + − 2的最小值为_____；

−1
，即

1
2
9
+
)
−1
5
2
=
1
(1
2
+
9
−1
−1
+

+ 9) ≥
1

= , = 时，等号成立，所以 +
1
(10 +
2
2
9 −1
⋅
)
−1

9
的最小值为8.
−1
= 8.
4
+1
（2）若正数，，满足 + 2 = 1，求
1

+ 的最小值.
解因为 > 0, > 0, + 2 = 1,所以
因此，如果要求积的最大值就需要凑出和为定值，要求和的最小值就要凑出积的定值.
跟踪训练1（1）已知0 < <
3
，则(3
2
− 2)取得最大值时的值为() D
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
[解析]∵ < <
( − ) =
故( −

，∴

(−)

例4已知正数,满足 + = 3， + 的取值范围为________.
3



[解析]由,为正数，

+=+

−


当且仅当 − =
=




+ = ，可得 =

+

×
−+
−


=

−

+

+ห้องสมุดไป่ตู้
> ， >



−

=

−




，所以




+ +
例6设，为实数，若 2 + 2 + = 1，则 + 的最大值为____；
3
2
值为__.
3



[解析]因为 + + = ，所以( + ) − = ≤
所以 + ≤
因为 + ≥
=
(+)

，所以 (


+ ) ≤ ，


+

= 1，则 1 + 2 的最大值为() C
−
= ，所以 = − ≥ ，所以 ∈ [, ]，
= −
当且仅当 = − ，即 =
故 +
+
2
2
2
[解析]因为 ≥ , ≥

0, 2


的最大值为 .


=



时,等号成立，

(
−
)
≤


×
+−

=

，

（2）已知 > 0, > 0, + + 3 = ,求 + 的取值范围.
解因为 > 0, > 0, + + 3 = ,
所以 + + 3 = ≤
+ 2
( ) ,(
2
+ )2 − 4( + ) − 12 ≥ 0，
++
+−+(−)
−+

所以 =
=
=
=+ −≥
+




当且仅当 = ，即 = − 时，等号成立.故选B.



⋅ − = − ，
（2）已知0 < < 1，求(4 − 3)的最大值.
1
3
1
3
解因为0 < < 1，所以(4 − 3) = ⋅ (3) ⋅ (4 − 3) ≤ ⋅
( + − 6)( + + 2) ≥ 0， + − 6 ≥ 0， + ≥ 6.故 + 的取值范围为[6, +∞).
2
3
当且仅当3 = 4 − 3，即 = 时，等号成立，
4
3
故(4 − 3)的最大值为 .
3+4−3 2 4
(
) = ，
2
3
题后反思1.此类型题属于一元求最值问题，在求最值时，如果分子分母中都含有变
量，则需进行分离变量.在分离变量的过程中可以借助换元法.
2.对于这种一元求最值的配凑法，应用的基本原理就是“和定积最大，积定和最小”，


8
+ 2的最小值是___.
+≥+

⋅

= , = 时，等号成立.故答案为8.
= ，
题后反思 乘“1”法适用于已知一个式子为定值，求另一个式子的最小值.
［注意］1.当题目中的前面有系数时也不影响此方法的使用；
2.当定值不是1时，两式相乘时要再乘以该定值的倒数；
3.当题目中的有线性运算时需通过配凑法；
又 + > 恒成立，所以 < .故选C.
角度2 乘“1”法
2
1
例3已知 > 0, > 0，且 + = 1，则




[解析]因为 > , > , + = ,所以








+ = ( + ) ⋅ ( + ) = + +

当且仅当

=

，即

4
+1
1 4
2
+ = (
+ )( + 1 + 2)
2 +1
2
8
+1
当且仅当
=
，即 = 3 − 2
+1

4
+1
(
1

1

+ )min = 3 + 2 2.
=
1
(6
2
+
8
+1
+1
+
)

≥ 3 + 2 2，
2， = 2 − 1时，等号成立，故
角度3 消元法
4
1
1
[ , +∞)
−1
−1
2 7
最小值是_____.
[解析]由正实数,满足 + + = ，得 =
+
−
> ，所以 > ，
同理可得 > ，所以 − > ， − > .
因为 + + = ，所以( − )( − ) = ，
所以 + − = ( − ) + ( − ) ≥ ( − )( − ) = ，当且仅当


，当且仅当 = = 时，等号成立，所以 + 的最大值为 .



，所以 + ≥ ，又 + + = ，则
− (
+
)
≤
+
，

( + )
所以 ≤
,所以


最小值为 .


故答案为 ； .


+

≥

，当且仅当
首先把常见的求最值问题分为一元和二元，一元指的是单个变量求最值，二元指
的是两个变量求最值.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“一元”最值问题
例1（1）当 > 0时，函数 =
3++ 2
的最小值为()
1+
B
A.2 3B.2 3 − 1C.2 3 + 1D.4
[解析]令 + = ，则 = − > ，
第3章 不等式
培优课3 用基本不等式求最值问题
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
通过基本不等式求最值是求取值范围问题的一种重要方法，也是基本不等式的重
要应用之一.因为变式较多，题型灵活，因此也是难点所在.本篇将带领同学们一起学
习基本不等式求最值的几种常用方法.