高二数学直线与圆锥曲线同步测试7.doc

安陆一中高二数学同步测试直线与圆锥曲线（七）
一．选择题
1. 直线l x y 15：-=到直线l x y 2230：+-=的角是（ ） A. arctg3
B. -arctg3
C. π-arctg3
D. 23π-arctg
2. 若关于x 、y 的二次方程x k y k 2
2521-+-=||的轨迹存在，则它一定表示（ ）
A. 椭圆与圆
B. 椭圆或双曲线
C. 抛物线
D. 双曲线
3. 椭圆92522522
x y +=上有一点P 到左准线的距离是2.5，那么P 点到右焦点的距离是（ ）
A. 8
B. 12.5
C. 4.5
D. 754.
4. 双曲线x a
y b 2
222
1
-=的两条准线三等分焦距，则它的离心率是（ ）
A. 2
B. 23
C. 62
D. 3
5. 抛物线y x 2=和圆
()x y -+=3122上最近两点间的距离是（ ） A. 2112()-
B. 112-
C. 1
2211()
-
D. 1
2112()-
6. 已知双曲线x a
y b
2
2
22
1
-
=的实轴长为4，AB 为左焦点F 1的弦，||AB =3，F 2为右焦点，则∆ABF 2
的周长是（ ）
A. 14
B. 11
C. 5
D.7
7. 已知A 、B 是抛物线y px p 2
20=>()上两个点，O 为坐标原点，若||||OA OB =且抛物线的焦点
恰为∆AOB 的垂心，则直线AB 的方程是（ ）
A. x p =
B.
x p =32 C. x p
=52 D. x p =3
二．填空题
8. 椭圆x y 22
941+=的焦点为F F 12、，点P 为其上的动点，当∠F PF 12为钝角时，点P 横坐标的
取值范围是_________。

9. 中心在原点，一个焦点是()-40，，一条渐近线是直线320x y -=的双曲线方程是______
求点11.
12. 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由。

（）渐近线方程为及。

（）点（，）到双曲线上动点的距离的最小值为。

120202506x y x y A P +=-=
13. 抛物线y ＝x 2上不存在关于直线y ＝m(x －3)对称的两点，求m 的范围。

14. 已知⊙C 的圆心在抛物线x 2＝2py(p>0)上运动，且⊙C 过A （0，p ）点，若MN 为⊙C 在x 轴上截得的弦，设|AM|＝l 1，|AN|＝l 2，求式子l l l l 211
2+的取值范围。

15. 已知抛物线y ＝(t 2＋t ＋1)x 2－2(a ＋t)2x ＋t 2＋3at ＋b ，对任意实数t ，抛物线总过定点P （1，0），求抛物线与x 轴交点的横坐标的取值范围。

16. 如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到
l2
直线与圆锥曲线（七）参考答案
一．选择题 1. C 2. D
3. A
4. D
5. D
提示：圆心（3，0）到抛物线上任一点P x y ()，的距离：
d x y x x x d d 2222235952925
4
1925411
2112=-+=-+=-+-
∴=-=--=-()()'()
min min
6. A
7. C 二．填空题
8.
()-
35535
5，
9. 136413144122
x y -=
提示：由题意可设双曲线方程为x y 22
49-=λ 即x y 22
491λλ-=
再由焦点坐标为()-40，，解得
λ=
1613
三．解答题
10. 解法一：设AB 两点为
()()pt pt pt pt 12122222，，，（t t t t 12120，且≠≠） 由OA OB ⊥知点O （0，0）在以AB 为直径的圆上， 方程：()()()()x pt x pt y pt y pt --+--=1222
12220
∴+=∴=-=-=p t t p t t t t AB x t t t M p 21222
212121212
404
440当与轴垂直时，，，点（，）
当不与轴垂直时，AB x k at at at at t t AB =--=
+222
12
12
2
212
AB y at t t x at x t t y p 方程-=
+--+-=22280112
12
12()
()
又消得：
y t t x t t =-++12
122
2280
4022
x y x y p x y px --=∴--=
法二：设OA 的斜率为k ，OA y k :=
OB y k x x p k
x pk A B :=-
⇒==1
4422
y p k
y pk
A B =
=-44
设M x y OM AB ()00，，⊥
∴-
=--=-x y y y x x k k A B A B 00211()
又方程为 AB x x x x y y y y A B A A
B A --=
-- 化简代入即可得方程。

法三：由法二得AB 方程，令y ＝0，得x ＝4p 故AB 过定点（4p ，0），又OM AB ⊥
∴=-⋅--=-∴-+=k k y x y x p
y x px OM AB 104140
22
，
11.解：设动点P 的坐标为（x ，y ） 由，得||
||()()()PA PB a a x c y x c y a
=>++-+=02222
化简得：
()()()()1211102222222
-+++-+-=a x c a x c a a y
当时，得a x c a a
x c y ≠++-++=121102
22
22()
整理得()(
)x a a c y ac a -
+-+=-11
21
2
22222
当时，化简得a x ==10
所以当时，点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆；
a P a a c ac a ≠+--111
021
222(
)|
|
当时，点的轨迹为轴。

a P y =1
12. 解：假设存在同时满足题中两条件的双曲线。

（1）若双曲线焦点在x 轴上
渐近线方程y x =±
12
∴-=由条件（）设双曲线方程为141
2
22
2x b y b
设动点P 的坐标为（x ，y ）
则||()()AP x y x b =-+=-+-55
4452222
由条件（）若，即，则当时最小2242456
2b b x AP b ≤≤==-=||
b 2
1=-这不可能，无解
若，则当时，最小242256b x b AP b >==-=|||| 解得应舍去b =
+-<56256
22()
此时存在双曲线方程为
x y 22
22
56562
1
()
(
)+-+=
（）若双曲线焦点在轴上，则可设双曲线方程为
（）
24122
22
y x b x b x R -=∈
∴=
-++∈||()AP x b x R 5
44522，
∴==+=当时，最小x AP b 456
2||
∴=-=b y x 2
2
2
141
，此时存在双曲线方程为
13.解：若m ＝0，曲线y ＝x 2
上没有关于直线y ＝0对称的两点
若，设与垂直的直线为：m y m x ≠=-03()l y m x b y x x m x b =-
+=+-=11
022代入得
若l 与抛物线有两交点，则
x x x m y m x m 01200
2123123=+=-=-=--⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪()
又中点，在上()---121
23m m l
∴-
-=--+123112m m m b ()
又∆=+>1
4022m b ()
()()121221032
代入消得：b m m ++<
即()()2162102
m m m +-+<
又恒成立，62101
22m m m -+>∴<-
故当时满足题设条件m ≥-
1
2
14.解：根据题意，⊙C 方程可设为
()()()x x y y x y p -+-=+-02020202
令，并把代入可得关于的方程y x py x x x x x p ==-+-=022*********
它的两个根为，x x p x x p 1020=-=+ ∴
=-=|||MN x x p 212 设∠=M A N θ S l l OA MN p MAN ∆===121
2122
sin ||||θ
∴=
l l p 122
2s i n θ l l l l p 1222
22224+-=c o s θ
∴+
=+=+l l p p p c t g 1
2
2
22
2
24441s i n cos ()
θθθ
∴+=+=+=+=+l l l l l l l l p c t g p 211212
221222
4122224()s i n (s i n cos )sin()θθθθθπ
090<≤︒θ
∴==︒当且仅当时，原式有最大值，又当且仅当时原式有最小值θπ
θ4
22902
∴
+l l l l 211
2222的取值范围是，[]
15.解：∵抛物线过P （1，0）
∴++-+++++=t t t at a t at b 2222
12230() 即()()11202
-++-=a t b a
这个关于t 的方程的解集是R 故10120
112
-=+-=⎧⎨⎩∴==⎧⎨
⎩a b a a b
抛物线方程为y t t x t t x t t =++-+++++()()2222
122131
设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0）
则x t t t t t t t t t t =
++++=+
++=+
++≠222311
121
12
110()
t t t t t ≠+=+≥011
2
时|||||| 即或t t t t +≥+≤-121
2
t x ==01时，
故时，t R x ∈-≤≤
15
3
而，的横坐标也在，内
P()[]1015
3-
故抛物线与
x 16. 解：
的端点。

设曲线的方程为，C y px p x x x y A B 2
200=>≤≤>()()
其中、分别为、的横坐标，x x A B p MN A B =||
所以，，，M p N p
()()-
2020
由，得||||AM AN ==173
()()
x p
px A A ++=2217
12
()()
x p
px A A -+=229
22
由、两式联立解得，再将其代入并由解得()()()124
10x p p A =
>
p x p x A A ==⎧⎨
⎩==⎧⎨⎩412
2或
因为是锐角三角形，所以
∆AMN p
x A 2>
故舍去p x A ==⎧⎨
⎩2
2 ∴==p x A 41， 由点B 在曲线段C 上 得x BN p
B =-
=||24
综上得曲线段C 的方程为
y x x y 28140=≤≤>()，。