带电粒子在磁场中运动的作图和求解方法课件

求：
1 粒子在磁场中做圆周运动的半径；
a
2 粒子在磁场中运动的时间；
e
（3）正三角形磁场区域的最小边长。 b
o1
作图指导：根据粒子受力先画一上切圆，做上切
60°
P vf0 g
A
圆切线与OA垂直，过两切点根据题意画出三角形
c
磁场的区域，做相应的辅助线找出粒子轨道半径
与三角形边长的关系。
30°
O
ห้องสมุดไป่ตู้
20
解：（1）由
时间分别为t1 和t2 , 可得：
8
例1 、如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴 上的P（ ，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第 一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求 匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其
交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半
同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环
形区域（Ⅰ区）和小圆内部（Ⅱ区）均存在垂直圆面向里的匀强
磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有
一小孔。一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释
放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由点紧靠大圆内
侧射入磁场。不计粒子的重力。
由牛顿定律得：
⑦解得：R=0.01m；
设粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的弦长为2r，
由作图可知：
⑧
当磁场以2r为直径为时，磁场的面积是满足 题意的最小面积，即最小面积为： S=πr2=2.355×10-4m2
16
三、带电粒子在矩形形磁场区域中的运动
例8。如图甲所示,xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电 场,一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速 度v0沿x轴正方向 开始运动.当它经过图中虚线上的M(2 a,a)点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形 匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N处沿y 轴负方向运动并再次经过M点.已知磁场方向垂直xOy平面( 纸面)向里,磁感应强度大小为B,不计粒子的重力. 试求: (1)电场强度的大小. (2)N点的坐标.
由牛顿第二定律:
，如图所示粒子的运动轨迹与小
圆相切有两种情况，
若粒子的运动轨迹与小圆外切，
由几何关系
解得
若粒子的运动轨迹与小圆内切，
由几何关系
解得
24
（3）设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1 和R2 由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区内地磁感应强度大小分别为
；由牛顿第二定律可得
，
代入解得
,
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1 和T2 由运动 学公式的：
甲
17
【解析】粒子在电场中做类平抛运动, 轨迹是一条抛物线,粒子在磁场中做匀 速圆周运动,轨迹是一部分圆弧,据此画 出粒子的运动轨迹如图乙所示.
(1)粒子从O到M做类平抛运动,设时间 为t,则有 X方向:
y方向:
得E= . (2)设粒子运动到M点时速度为v,与x方向 的夹角为α,则
,
即α=30°
18
P
过轨迹的圆心。
V M
V0 O
vA
O
3
A vA
一. 圆心的确定
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，
fA
C 则可根据洛伦兹力f⊥v，分别确定两点处
fC O
vC 洛伦兹力 f 的方向，其交点即为圆心．
定圆心
Av D
C
例1、如图所示, 一束电子以速度v 垂直
v
射入磁感应强度为 B 、 宽度为 d 的有
界匀强磁场中 , 穿出磁场时的速度方向
（π=3.14）求： 1 粒子通过b点时的速度大小及方向． 2 磁场的最小面积是多少．
15
解：（1）在电场中，粒子做类平抛运动．
， y轴方向有：
①
②
，③
①②③联立得：
④
过b点的速度大小为：
过b点的速度与x轴的夹角为：
⑤ ，即θ=45° ⑥
所以通过b点速度方向为与x轴成45°角； （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为R，
径为
①
洛仑兹力是向心力
②
由①②解得
射出点的纵坐标为（r+rsin30°）
=1.5r,因此射出点坐标为（0， ）。
9
例2、电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏 离入射方向的距离为L，如图2所示，求： 1 正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 2 匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）
由题意粒子与大圆两次相切时间间隔和运动 α
轨迹如图乙，由对称性可知，Ⅰ区两段圆弧
所对圆心角相同，设为θ 1 ，Ⅱ区所对圆心
角为θ 2 ，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线的夹角为α 由 几何关系可得; θ 1 =1200 , θ 2 =1800 α=600 .
25
粒子重复交替运动的H点设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的
强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求 这
个圆形区域的最小半径．重力忽略不计．
解：根据牛顿第二定律：
y av
O
C
r Dr
b v
解得： 画出粒子的运动轨迹如图， 根据几何关系,所求的圆形磁场 区域的最小半径为：
x
13
例6.如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直
于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以
分线上与两速度方向直线v的距y离为R的点
即为圆心．
P
例 3 、（ 04 全国）一匀强磁场 , 磁场方向垂
直于 xy 平面, 在 xy 平面上, 磁场分布在以
O 为圆心的一个圆形区域内 . 一个质量为
m 、电荷量为 q 的带电粒子, 由原点 O 开
始运动, 初速度为 v, 方向沿 x 轴正方向. 后
L
与原来电子的入射方向的夹角为30°, 电
B
子的电荷量为 e , 则电子的质量是多少
O
? 电子穿过磁场的时间又是多少?
d
4
A
②若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的
O
fC
C 速度方向，则可作出此两点的连线（即过 vC 这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已
知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为
圆心．
例 2 、如图所示 , 一质量为 m 、 带电
P
画出粒子的运动轨迹如图，
根据几何关系： 由上式解得： 思考:1.试求磁场分布圆形区域的半径R
L
Q
rC R
r
A
Ov
x
2.粒子在磁场中运动时间 11
例4.一质量为m，带电量为q的粒子以速
y
度v从O点沿y轴正方向射入磁感强度为 A
B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂 直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处 穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为
带电粒子在磁场中运动作图及求解方法
1
一、圆心的确定
O
基本思路：圆心一定在与速度方向垂
直的直线上，通常有三种方法：
P
V0
方法一：利用两个速度垂线的交点找
圆心。
O
方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线
的交点找圆心.
PV
V M
M
2
O
方法三、利用速度的垂线与角的平分
线的交点找圆心,一速度的延长线与另
一速度的反向延长线夹角的平分线必
1 粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
2 所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。 解：1、粒子运动轨迹如图中 蓝色轨迹所示 ，
由几何关系可得 ：
，
解得 ：
由
可得
，
2、粒子运动轨迹如图中下面黑色轨迹所示 ，
B R2
R1
O
r R2
可得 ：
v
由
可得 ，
22
4、【2015山东-24】. 如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于
Q
rC R
来, 粒子经过 y 轴上的 P 点, 此时速度方向 与 y 的夹角为30°, P 到 O 的距离为 L, 如 图所示 . 不计重力的影响 . 求磁场的磁感应
r
A
Ov
x
强度 B 的大小和 xy 平面上磁场区域的半
径 R.
6
二、带电粒子在直边界磁场中的运动图示
1、直线边界（进出磁场具有对称性）
带电粒子, 由原点 O 开始运动, 初速度为 v, 方向沿 x 轴正方向. 后来, 粒子
经过 y 轴上的 P 点, 此时速度方向与 y 的夹角为30°, P 到 O 的距离为
L, 如图所示. 不计重力的影响. 求磁场的磁感应强度 B 的大小和 xy 平面
上磁场区域的半径 R.
vy
解：根据牛顿第二定律：
粒子运动轨迹如图：
由图可知，
(3)由几何②关系
磁场区域最小半径 磁场区域最小面积
所以
③
故b点的坐④标为（
，0） 12
例5.一带电质点，质量为m，电量为q，以平行Ox轴的速度v从y轴上
的a点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点
垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当地方加一垂直xy平面、磁感应
得：
（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知
（3）由数学知识可得： 得：
a e
b
o1
60°
P vf0 g
A
c
30°
O
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◆ 带电粒子在环形磁场区域中的运动
例1、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于 环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁 场的内半径为R1=0.5m，外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T， 若被缚的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有 各个方向的速度。试计算：
v0
荷量为 q 的粒子水平射入磁感应强O
θ
度为 B , 方向垂直纸面向外的匀强磁
场中, 如果粒子经时间 t 到达 P 点 ,
P
且 OP 与入射方向夹角为θ, 则θ 与 t
的关系如何? 5
A vA
③若已知粒子入射方向和出射方向，及轨
C 迹半径R，但不知粒子的运动轨迹，则可
O
vC作出此两速度方向夹角的平分线，在角平
02
να
θ
θ
α
υ
O1
B
从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，入速度与边界的 夹角（弦切角）与出速度与边界的夹角（弦切角）相等。
——对称性
7
2、平行边界（存在临界条件）
O
d
d
θd
θO
O
B
B
B
O
3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又 从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射 点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出 射速度方向与边界的夹角相等（
由题意知,粒子从P点进入磁场,从N点离开磁场,粒子在磁场 中以O‘点为圆心做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律
得粒子做圆周运动的半径为 由几何关系知,β= ∠PMN=30°
即N点的坐标为 试球矩形磁场区域的最小面积？
如图
19
例9.如图，倾角30º的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有小孔P 质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14 C的粒子，从小孔以速 度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向 里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档 板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计。
速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的 夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒
子的电量和质量之比q/m。
y
解：根据牛顿第二定律： 做出粒子运动轨迹如图。 由几何关系知：
p
LO
θθ
θv
O'
由上式解得：
14
例7、如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有竖直向 下的匀强电场，场强为E=20N/C，第四象限内有一个圆形区域 的匀强磁场，方向垂直纸面向外，大小为 T，未画出来． 一个带正电的粒子质量为m=2×10-5kg，电量为q=5×10-3C，重力 不计，从y中上的a点以v0=10m/s的速度垂直y轴射入电场．Oa 长度为h=0.01m，粒子通过x轴上的b点进入第四象限，粒子经 圆形磁场后从c点射出第四象限，出射的速度方向与y轴负方向 成75°．
1 求极板间电场强度的大小； 2 若粒子运动轨迹与小圆相切，求 区磁感应强度的大小； 3 若Ⅰ区，Ⅱ区磁感应强度的大小 分别为2mv/qD，4mv/qD，粒子运动一 段时间后再次经过H点，求这段时间粒 子运动的路程。
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解（1）粒子在电场中，根据动能定理：
解得
（2)设Ⅰ区内磁感应强度大小为B，粒子做圆周运动的半径为R.
C
v
r
O
r30°
60°
D
30° ，如图所示． ( 粒子重力忽略不计 )
b 30° x v
．试求： (1)圆形磁场区的最小面积； ①②③④联立
(2) 粒子从 O 点进入磁场区到达 b 点所（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时
经历的时间； (3)b点的坐标
解（1）在磁场中
间，
从a飞出磁场后做匀速
直线运动,有几何关系： ①
解析：（1）轨迹如图所示： （2）在M、N间加速后获得的速度为v， 由动能定理得：
电①子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半
径为r，则：
②
在△AQP中：
➂
在△ACO中 ： 由①②➂④解得：
④
10
例 3.（ 04 全国）一匀强磁场, 磁场方向垂直于 xy 平面, 在 xy 平面上, 磁
场分布在以 O 为圆心的一个圆形区域内. 一个质量为 m、电荷量为 q 的