一阶线性微分方程及其解法

e x 3(xex exdx) C
e x 3( xe x e x ) C e x 3( xe x e x ) C
3( x 1) Ce x
由 y x0 0 得 C 3,
因此所求曲线方程为 y 3(e x x 1)
（2）通解公式 y e P( x)dx ( Q( x)e P( x)dx C )
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
的速度成正比(比例系数 k 0) ，起跳时的速度为0，
求下落的速度与时间 t 的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t) ,
则依题有v t0 0 , 由牛顿第二定律知：
mg kv ma mv
即 v k v g 其中 P(t) k ,
1）一般式
dy P( x) y Q( x) dx
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y e P( x)dx[
Q(
x
)e

P
(
x
)dx
dx

C
]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 设 y u( x)e P( x)dx 为非齐次线性方程的解，则
dxdy1一阶线性齐次微分方程分离变量法一阶线性微分方程的解法1一般式2解法3通解公式通解两边积分分离变量celndxdy2一阶线性非齐次微分方程常数变易法1一般式2解法3通解公式xydydxdy其中代入初始条件求特解
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业
(4) dy 1 y sin x 2 dx x
(6) y x sin y x 2 1
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
3. 一阶线性微分方程的分类
当 Q( x) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
u( x) Q( x)e P( x)dx
u( x)
Q(
x)e

P
(
x
)dx
dx

C
通解
y

e
P(
x )dx
[
Q(
x
)e

P
(
x
)dx
dx

C
]
例3 求 y 1 y x 2 的通解. x
解 P( x) 1 , Q( x) x 2则, 通解为
x
y

e

1x
x1 Q(x) x2
则通解为
y

e
2
x
dx



x1 x2
e
2 dx
x dx

C

e2lnx (x 1)dx C

1 x2

x2 2

x C
11 C 2 x x2
由 y x1 0 得
C 1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
11 1 y
2 x 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
例5 求 过原点平且在点( x,y) 处的切线斜率等于 3x y 的曲线方程。
y u( x)e P( x)dx u( x)e P( x)dx (P( x)) 将 y, y 代入原方程有
[u( x)e P( x)dx u( x)e P( x)dx (P( x))] P( x)u( x)e P( x)dx Q( x)
即 u( x)e P( x)dx Q( x)
分方程。
当 Q( x) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。
4. 一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程
1）一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
1 dy P( x)dx y
2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P( x)dx ln C

3）通解公式
通解
y Ce P( x)dx
y Ce P( x)dx
例2 求 y 2 y 0 的通解. x
解 P( x) 2 则通解 x
y Ce P( x)dx

Ce

2 dx x
Ce 2ln x Cx 2
（2）一阶线性非齐次微分方程
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v

mg (1
kt
em
)
k
三、小结
1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式
dy P( x) y 0 dx
（2）通解公式 y Ce P( x)dx
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式
dy P( x) y Q( x) dx
解 设所求曲线方程为 y f ( x) , 则依题有y 0 , x0
从而
y 3x y
即 y y 3x 其中 P( x) 1, Q( x) 3x
则通解为
y e dx 3x e dxdx C
e x 3 xexdx C e x 3 xdex C
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
(1) 3 y 2 y x 2
(2) ( y )3 xy sin(2x 1)
(3) y y 2 x 2 (5) y y y x
x


x
2

e

1 dx
x dx

C



elnx x2 elnxdx C

1 x
x3dx C
1 x3 C 4x
例4 求 x 2dy (2xy x 1)dx 0 满足 y x1 0 的特解.
解
原方程变形为
dy 2 y dx x
m
m
则通解为v
e

k dt m


g

e

k dt
m dt

C



Q(t) g

e

k m
t


g

e
k m
t
dt

C


e
k
m
t

g

m k

d(e
k m
t
)

C



e
k m
t
(
g

m

e
k m
t
k
C)

mg

k t
Ce m
k
由 v t0 0 得