2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法 精品

[导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、 等比数列的通项公式、前 n 项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量 的计算． 2．重视 an 与 Sn 关系、递推关系的理解与应用，加强由 Sn 求 an，由递推关系 求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证 a1 是否适合所求式，(3)中常 见错误是忽视判定首项是否为零．
[变式训练 3] (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－ (2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3 分 由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.5 分
项数__有__限___ 项数__无__限___
单调性
递增数列
an＋1 > an
递减数列
an＋1 < an
其中n∈N*
常数列
an＋1＝an
从第2项起，有些项大于它的前一项， 摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 ．
4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n 这个公式叫做这个数列的通项公式．
抓 基 础
· 自
主
学 习
第五章 数 列
课 时
分
层
明 考
训 练
向
· 题
型 突 破
[五年考情]
考点
数列的概念与 简单表示法
等差数列及其 前n项和
等比数列及其 前n项和
2016年
全国卷Ⅲ·T12 全国卷Ⅲ·T17
全国卷Ⅰ·T3 全国卷Ⅱ·T17
全国卷Ⅰ·T15 全国卷Ⅲ·T17
2015年 全国卷Ⅰ·T17 全国卷Ⅱ·T16
[规律方法] 1.已知 a1，且 an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求 an；已知 a1(a1≠0)， 且aan－n 1＝f(n)，可用“累乘法”求 an.
2．已知 a1，且 an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k 可由待定系数法确 定)，可转化为{an＋k}为等比数列．
5．(2017·保定调研)在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式 an＝__________.
2n－1 [法一：由 an＋1＝2an＋1，可求 a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知 an＝2n－1.
法二：由题意知 an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]
[规律方法] 由 Sn 求 an 的步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求 出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达式，如果符合， 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式． 易错警示：利用 an＝Sn－Sn－1 求通项时，应注意 n≥2 这一前提条件，易忽视 验证 n＝1 致误．
(2)∵an＋1＝2nan，∴aan－n 1＝2n－1(n≥2)， ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn2－1. 又 a1＝1 适合上式，故 an＝2nn2－1.8 分
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又 a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此 an＝2·3n－1－1.12 分
全国卷·T5
全国 卷·T16
全国 卷·T16
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其 中解答题与解三角形交替考查，中低档难度． 2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an 与 Sn 的关系、递推公式以 及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题． 3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考 查，加大对探究、创新能力的考查力度．
[解] (1)由题意可得 a2＝12，a3＝14.4 分 (2)由 a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).7 分 因为{an}的各项都为正数，所以aan＋n1＝12.9 分 故{an}是首项为 1，公比为12的等比数列，因此 an＝2n1－1.12 分
由数列的前几项归纳数列的通项公式
写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，….
[解] (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.3 分 (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，…， 所以 an＝2n2－n 1.6 分 (3)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它 的前一项的绝对值大 6. 故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5).9 分
则 an＝
S1 ，n＝1， Sn－Sn－1 ，n≥2.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) (4)若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝2an1－1，且 a2＝1，则可以写出数列{an} 的任何一项．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题， 等差(比)数列中共涉及五个量 a1、an、Sn、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思 想的应用．
一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、 倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．
重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．
(2)a1＝S1＝3＋b， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.7 分 当 b＝－1 时，a1 适合此等式． 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式.10 分 ∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1； 当 b≠－1 时，an＝32＋·3nb－，1，nn＝≥12，. 12 分
[易错与防范] 1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． 2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数， 而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接 把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它只适用于 n≥2 的情形．
[变式训练 1] (1)数列 0，23，45，67，…的一个通项公式为( )
A．an＝nn－ ＋11(n∈N*)
B．an＝2nn－＋11(n∈N*)
C．an＝22nn－－11(n∈N*)
D．an＝2n2＋n 1(n∈N*)
(2)数列{an}的前 4 项是32，1，170，197，则这个数列的一个通项公式是 an＝
[变式训练 2] (2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an
－4(n∈N*)，则 an＝( )
A．2n＋1
B.2n
C．2n－1
D.2n－2
A [由 Sn＝2an－4 可得 Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得 an＝2an－2an－
1(n≥2)，即 an＝2an－1(n≥2)．又 a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列，则 an＝4×2n－1＝2n＋1，故选 A.]
__________.
【导学号：01772171】
(1)C
2n＋1 (2) n2＋1
[(1)注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可．
(2)数列{an}的前 4 项可变形为2×12＋1＋11，2×22＋2＋11，2×32＋3＋11，2×42＋4＋11，故 an
＝2nn2＋＋11.]
由 an 与 Sn 的关系求通项 an
全国卷Ⅰ·T17
全国卷Ⅱ·T4
数列求和 全国卷Ⅱ·T17 全国卷Ⅰ·T17
数列的综合应 用
2014年 全国卷 Ⅰ·T17 全国卷 Ⅰ·T17 全国卷 Ⅱ·T17
全国卷 Ⅱ·T17
2013年
2012年
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅰ·T7 全国卷Ⅱ·T16 全国卷Ⅰ·T14 全国卷Ⅱ·T3
全国卷Ⅰ·T12 全国卷Ⅱ·T16
(4)将数列各项改写为93，939，9939，9 9399，…，分母都是 3，而分子分别是 10 －1,102－1,103－1,104－1，…，
所以 an＝13(10n－1).12 分
[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律 凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整，可代入验证归纳的 正确性．
则第 7 个三角形数是( )
A．27
B.28
C.29
D.30
B [由题图可知，第 7 个三角形数是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．(教材改编)数列 1，23，35，47，59，…的一个通项公式 an 是__________．
n 3，35，…，故通项为2nn－1.]
[思想与方法] 1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函 数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 2．an＝SSnn－n＝Sn－11，n≥2.
3．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法． (2)aan＋n 1＝f(n)型，采用叠乘法． (3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．
2．设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8 的值为( )
A．15
B.16
C．49
D.64
A [当 n＝8 时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以 排成一个正三角形(如图 5-1-1)．
图 5-1-1
第一节 数列的概念与简单表示法
[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公 式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的项 ．
2．数列的分类
分类标准 类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
由递推公式求数列的通项公式
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝12×(3×1＋1)＝2 符合公式， ∴an＝32n2＋n2.4 分
之间的关系可以用一个式子来表示，那么
5．数列的递推公式
如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与 它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式．
6．an 与 Sn 的关系
若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，