小学奥数数论讲义 11-完全平方数强化篇

完全平方数
一、完全平方数常用的三条性质
1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。

2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。

推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。

3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。

二、基本公式
平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）
三、两个特殊的完全平方数
7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；
1444（后三位数字相同的数中最小的）。

【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。

这个算式的得数能否是某个数的平方。

【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？
【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。

【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。

【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即
4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，
2002个4
写出B；如果不是，请说明理由。

【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数
分别是 、 。

【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数
分别是 、 。

〖答案〗
【例 1】 不能
【巩固】 无
【例 2】 2
【巩固】 42
【例 3】 1
【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，
而2002个1
1111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方
【例 4】 424
【巩固】 不能
【例 5】 24，52⨯7
【巩固】 36，30。