泊松过程

dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
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1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
2 8 4
令Sn 表示第n个顾客到达的时刻 (2)P ( S2 1) P[ N (1) 2] 1 e 4 4e 4 1 5e 4
(3)P[ S1 0.5, S2 1] P[ N (0.5) 1, N (1) 2] P[ N (0.5) 1, N (1) N (0.5) 1] P[ N (0.5) 2] 0.5 e 0.5 (1 e 0.5 ) 1 e 0.5 0.5 e 0.5 1 e 2e
又由于 Pk 1 ( s ) 0, 所以 Pk +1 ( t ) e ( t s )
[ （ t s )]k 1 . ( k 1)!
证明方法2： : 对 t s 0, 记 N ( s, t ] N ( t ) N ( s ).
固定 s和0 u 1, 对 t s , 记 u ( t ) E ( u N ( s ,t ] ). 对 h 0, u ( t h ) E ( u N ( s ,t h ] ) （ 独立增量性） u ( t ) E ( u N ( t ,t h ] ) u ( t )[1 h u h o ( h )] u ( t )[1 ( u 1) h ] o ( h ) u ( t h ) u ( t ) o(h ) ( u 1)u ( t ) h h d u ( t ) 令 h 0得， ( u 1)u ( t ) dt 又由于 u ( s ) 1, 所以 u ( t ) e ( u 1) ( t s ) 这推出 N ( t ) N ( s ) ( ( t s )).
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证 明： （1）因为 X 和 Y 独 立，所以对0 s 1, X Y ( s ) X ( s )Y ( s ) e ( s 1) e ( s 1) e ( )( s 1) X Y ( ) （2）对非负整数 i1 ,..., in , 令 k i1 ... in， 则 P ( N 1 i1 ,..., N n in ) P ( N1 i1 ,..., N n in | N k ) P ( N k )
k [ （ t s )] 假设已证得 Pk ( t ) e ( t s ) , k! k 1 [ ( t s )] 对 h 0, 下证 Pk +1 ( t ) e ( t s ) . ( k 1)! Pk +1 ( t h ) Pk 1 ( t ) P ( N ( t , t h ] 0)
x
P ( X 1 x1 ,..., X n xn ) p1 ( x1 )... pn ( xn )
那么X i具有分布律pi ( x ), 且X 1 , , X n 相互独立 证 明： 任何 x1 , P ( X 1 x1 )
x2 ,, xn

p1 ( x1 )... pn ( xn ) p1 ( x1 )
设X ( ), 即服从参数为的泊松分布。则：
k 1. P ( X k ) e , k 0,1, 2,... k! 2. E ( X ) Var ( X )
3. X 的生成函数（或母函数） g (t ) E ( s X ) e ( s 1) , 0 s 1 证明：(3)g ( t ) E ( s ) s e
所以X 1分布律为p1 ( x ),同理X i分布律为pi ( x )
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定 理 ： （泊松分布的可加性和可分性） （1）设 X ( ), Y ( ), 且相互独立 ， 则 X Y ( ) (2)设 N ( )， N 个事件独立地(也独立于个数 N）以概率 pi 为类型 i，这里 i 1, 2， ..., n, p1 ... pn 1. 以 N i 表示事件 i发生的个数， 那么 N i ( pi ), 且 N1 ,..., N n 相互独立
N(t)
4 3 2 1
S1 S2 T T T 1 3 2
St ), t 0是参数为的泊松过程,则：
3.对任何s 0, N (t s ) N ( s ), t 0也是是参数为的 泊松过程且与{N (u )：u s}独立。
1. E N t D N t = t 2. C N s, t min s, t
解 : 以上午九点作为0时刻，以1小时作为单位时间。 以N (t )表示(0, t ]内来到的顾客数，则{N (t )}是 =4 的泊松过程。 (1) P{N (0.5) 1, N (2.5) 5} P{N (0.5) 1}P{N (2.5) N (0.5) 4} (2e )( e 8 ) 0.0155 4!
2 4
与泊松过程相联系的若干分布
1
Sn 是第n个事件发生的时刻
( t )i i! t0 其他
FSn t P Sn t P N t n 1 e t
i 0 n 1
t n 1 t e , f Sn t n 1 ! 0,
即Sn ~ n,
2
N(t)
4 3 2 1
记Ti Si Si 1
i 1, 2,
(S0 0)
称为第i 1个事件和第i个事件发生的时间间隔
S1 S2 T T T 1 3 2
h
P{N (t h) N (t ) 2} 1 e h he h 1 (1 h o(h)) h(1 h o(h)) o( h)
直观地：把( s, t ] n等分,设为t0 t1 ... t n , t0 s, tn t , ti 1 ti h
i t s n
,
P{N ti 1 N ti 1, i} P{N ti 1 N ti 1} (1 o( h )) [(1 o( h ))
n 1 o ( h ) no ( h )
]
1
h足够小时, N t N s 近似服从B (n, h o(h )) 令h 0时得, N t N s ~ ( (t s ))
Pk ( t ) P ( N ( t , t h ] 1) P ( N ( s , t h ] k 1, N ( t , t h ] 2) Pk 1 ( t )(1 h ) Pk ( t ) h o ( h ) Pk 1 ( t h ) Pk 1 ( t ) o(h ) Pk 1 ( t ) Pk ( t ) h h dPk 1 ( t ) 令 h 0得， Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
X k k 0
k!
k
e


k 0

( s ) k s ( s 1) e e e k!
浙大数学随机过程 5
定 理 ：设 X 1 , , X n 是离散型随机变量,若对任何 x1 , , xn , 这里 pi 满足 pi ( x ) 0, pi ( x ) 1.
证明方法1： : 对 t s 0, 记 N ( s, t ] N ( t ) N ( s ).
固定 s , 对 t s , 令 Pk ( t ) P ( N ( s , t ] k ). 对 h 0, P0 ( t h ) P ( N ( s , t ] 0, N ( t , t h ] 0) （ 独立增量性） P ( N ( s , t ] 0) P ( N ( t , t h ] 0) P0 ( t )[1 h o ( h )] P0 ( t )[1 h ] o ( h ) P0 ( t h ) P0 ( t ) o( h ) P0 ( t ) h h dP0 ( t ) 令 h 0得， P0 ( t ) dt 又由于 P0 ( s ) 1, 所以 P0 ( t ) e ( t s )
N (t ), t 0是取非负整数、时间连续的随机过程，
称为计数过程。
计数过程{N (t )}称作参数为的泊松过程,如果:
1. N (0) 0
2. 独立增量
3.P N (t h) N (t ) 1 h o( h) 稀有性
4. P{N (t h ) N (t ) 2} o(h ) 相继性
k in i1 k ! p1 ... pn e i1 !...in ! k!
e p1
in ( p ) ( p1 )i1 n ...e pn i1 ! in !
浙大数学随机过程 8
§2 泊松过程的定义
以N (t ) 表示在时间间隔 0, t内事件发生的数目，