新人教A版必修二 数系的扩充与复数的引入 课件(10张)
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z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量OZ1
、
OZ
2
不共线,则复数z1+z2是以
OZ1
、OZ
2
为
两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是
OZ1
-
OZ
2
=
Z2 Z1ຫໍສະໝຸດ 所对应的复数.方法技巧
方法 1 复数的概念及几何意义
实数(b 0),
1.复数的分类:a+bi(a,b∈R)虚数(b
0)
纯虚数(a 0), 非纯虚数(a 0).
2.处理有关复数概念的问题时,首先要找准复数的实部与虚部(若复数
为非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准代数形式),然后根据
定义解题.
3.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.
(2)(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若
a 2
i i
为实数,则a的值为
.
解析 (1)∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴1a∴a1 a<00,,-1.故选B.
(2)因为 a =i (a= i)(2为实i) 数2,a所以1-(a =20)i,解得a=-2. a 2
2 i (2 i)(2 i)
5
5
答案 (1)B (2)-2
方法 2 复数的四则运算解题方法
1.利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用 方法. 2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进 行,除法则需分母实数化. 3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度:
知识清单
考点一 复数的概念及几何意义
1.复数的有关概念
OZ
OZ
2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复 平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.
考点二 复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
A. 3 + 3 i
22
B. 3 - 3 i
22
C. 3 + 3 i
44
D. 3 - 3 i
44
(2)(2017河南濮阳一模,2)计算
1 1
i i
2
017
+
1 1
i i
2
017
=
(
B
)
A.-2i B.0 C.2i D.2
解析 (1)z= 3i = 3i(1 3i) = 3 3i = 3 + 3 i.故选C.
1 3i (1 3i)(1 3i) 1 3 4 4
(2)∵1 i = (1 i)2 = 2i =i,1 i =-i,
1 i (1 i)(1 i) 2 1 i
∴
1 1
i i
2
017
+
1 1
i i
2
017
=(i4)504·i+[(-i)4]504·(-i)=i-i=0,故选B.
(1)(1±i)2=±2i; 1=ii; 1=-ii.
1i 1i
(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
例2 (1)(2017河北唐山高三摸底考试,2)已知复数z满足(1+ 3 i)z= 3 i, 则z= ( C )
4.复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的
向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法
理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.
例1 (1)(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二
象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
(4)除法: z1 =a b=i (a= bi)+(c id(ic)+daic≠0b)d. bc ad
z2 c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2
2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量OZ1
、
OZ
2
不共线,则复数z1+z2是以
OZ1
、OZ
2
为
两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是
OZ1
-
OZ
2
=
Z2 Z1ຫໍສະໝຸດ 所对应的复数.方法技巧
方法 1 复数的概念及几何意义
实数(b 0),
1.复数的分类:a+bi(a,b∈R)虚数(b
0)
纯虚数(a 0), 非纯虚数(a 0).
2.处理有关复数概念的问题时,首先要找准复数的实部与虚部(若复数
为非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准代数形式),然后根据
定义解题.
3.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.
(2)(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若
a 2
i i
为实数,则a的值为
.
解析 (1)∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴1a∴a1 a<00,,-1.故选B.
(2)因为 a =i (a= i)(2为实i) 数2,a所以1-(a =20)i,解得a=-2. a 2
2 i (2 i)(2 i)
5
5
答案 (1)B (2)-2
方法 2 复数的四则运算解题方法
1.利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用 方法. 2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进 行,除法则需分母实数化. 3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度:
知识清单
考点一 复数的概念及几何意义
1.复数的有关概念
OZ
OZ
2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复 平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.
考点二 复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
A. 3 + 3 i
22
B. 3 - 3 i
22
C. 3 + 3 i
44
D. 3 - 3 i
44
(2)(2017河南濮阳一模,2)计算
1 1
i i
2
017
+
1 1
i i
2
017
=
(
B
)
A.-2i B.0 C.2i D.2
解析 (1)z= 3i = 3i(1 3i) = 3 3i = 3 + 3 i.故选C.
1 3i (1 3i)(1 3i) 1 3 4 4
(2)∵1 i = (1 i)2 = 2i =i,1 i =-i,
1 i (1 i)(1 i) 2 1 i
∴
1 1
i i
2
017
+
1 1
i i
2
017
=(i4)504·i+[(-i)4]504·(-i)=i-i=0,故选B.
(1)(1±i)2=±2i; 1=ii; 1=-ii.
1i 1i
(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
例2 (1)(2017河北唐山高三摸底考试,2)已知复数z满足(1+ 3 i)z= 3 i, 则z= ( C )
4.复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的
向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法
理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.
例1 (1)(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二
象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
(4)除法: z1 =a b=i (a= bi)+(c id(ic)+daic≠0b)d. bc ad
z2 c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2
2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+