自动控制原理8PPT课件

式中： Z ----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。
y(t) 1(t) 1(t T)
设有一零阶保持器，其数学模型为
y(t) 1(t) 1(t T)
对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知
y(s) 1 eTs 1 eTs
2、数学描述 为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调
制的过程，如下图所示。
采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以
Ts为周期的单位理想脉冲δT(t)。 幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f*(t)可以认为
是输入连续信号f(t)调制在理想脉冲δT(t)上的结果。
)
例4.求取具有拉氏变换为
F(s) a s(s a)
解：
的连续函数f(t)的Z变换。
F (S )
a [ s ( s a )]
a1 s
a2 sa
求得
a1 1
a 2 1
F(z)
z
z 1
z z e aTs
z ( z e aTs ) ( z 1)( z e aTs )
求 例5.
lim
n
Sn
lim
n
1 1
Z Z
n 1
1
1 Z
1
q Z 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
或者，由
F ( z) 1 z 1 z 2 ......
两边同乘以z-1得： 两式相减得：
F ( z) z 1 z 2 z 3 ......
F (z)
1 1 z 1
z, z 1
z
1
例2.试求取衰减的指数函数e-at(a>)的Z变换。
n个周期。
证明 :由Z变换定义
Z[f(t - kTs )]
f (nTs kTs ) z n
n0
f(-kTs ) f(Ts -kTs )z -1 f(0)z-k f(Ts )z -(k 1)
f(nTs )z -(k n)
f(-kTs ) f[(1 - K)Ts ] f(-Ts ) 0
设有一离散信号
f (t) f (kT)(t kT) k0
对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知
F
(s)
1 T
k0
F(s
jks
)
将s=jω代入
F (
j)
1 T
k0
F(
j
jks
)
1 T
F(
j)
1 T
F(
Hale Waihona Puke jjks)
1 T
F(
j
j2ks
)
经上述讨论分析可知，对于一连续信号f(t)，其频率特性为一孤立的连续 频谱（ωmax)。以均匀周期T(=2π/ωs)对f(t)进行采样，采样信号f*(t) 的频谱与采样频率ωs有关，而且是以ωs为周期的无限多个频谱之和。与
F(s) 1 s(s a)2
的Z变换。
解：
F (s) 1 s(sa)2
a1
a2
s
(sa)2
a3 sa
a s 1
1
1
s(sa)2 s0 a2
a2
1 s(sa)2
(s a)2
sa
1 a
a3
d ds
1 s
1
sa
a2
1
1
1
F(S)
a2
s
a
(s a)2
a2
sa
F(z) 1 z a 2 z 1
原函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为1/T。
Ts较大时 (ωs<2 ωmax)
ωs=2 ωmax Ts较小时 (ωs>2 ωmax)
观察上图，信号的复现需满足两个条件： (1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率 s 2max 时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理) (2)在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。
使采样信号f*(t)大体上回复为连续信号f(t)的变化规律，称信号的复现。
采样
f(t)
f*(t)
复现
怎样才能使采样信号f*(t)大体上反映连续信号f(t)的变化规律呢？ 从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析： 对于一个非正弦周期函数f(t)，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐 波的振幅 F( j) 随频率变化的分布情况，称为f(t)的频谱特性。
1
z
2 j [ z - e jTs
z - z - e jTs ]
z
- e jTs e jTs
2 j (z - e jTs )(z - e jTs )
e jTs e jTs
z
z2
2
2j e jTs e jTs
z 1
2
z2
zsinTs 2 cos Ts
z 1
(3) Z 变换的主要性质 1) 线性性质
Z[f[(t - KTs )] f(0)Z-k f(Ts )Z-(k 1) f(nTs )Z-(k n)
z -k [ f (0) f (Ts ) z 1 f (nTs ) z n ]
z-k F ( z)
证毕
3) 超前定理
若 Z[f (t)] F(z)
k -1
则
Z[
需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分 量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，如何选 择采样频率的最高频率呢？一般考虑频谱幅值降为最大值的5%处的频率为ωmax。
1
-ωmax
0.05
ωmax
三、零阶保持器——低通滤波器 使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值f(kT)一直保持到下一个采样
第八章 线性离散控制系统的分析与综合
8.1 离散控制系统概述 8.2 连续信号的采样与复现 8.3 Z变换及Z反变换 8.4 线性离散系统的数学模型 8.5 离散控制系统稳定性分析 8.6 离散控制系统的稳态误差分析 8.7 离散控制系统的动态性能分析 8.8 数字控制器的模拟化设计 8.9 数字控制器离散化设计
f
(t
k
T
)]
s
zk
[F(Z)
-
T Z f(m ) m] s
m0
证明 : Z[f(t kTs )]
f (nTs kTs )Z n
n0
f (kTs ) f [(k 1)Ts ]z 1 f [(k 2)Ts ]z 2 ....... f (nTs kTs ) z n ......
采样定理的物理意义是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采 样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。
反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻 之间连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的 精度复现原连续信号。
三、离散控制系统的分析方法 建立在Z变换的数学基础上，采用脉冲传递函数，并利用类似连读控制系
统的分析方法进行分析、研究。
8.2 连续信号的采样与复现
一、连续信号的采样、数学描述 1、采样过程 把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为 采样过程。 例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示， 设采样开关每隔T秒闭合一次（接通一次）。f(t)为输入连续信 号，则经采样开关后，f*(t)为定宽度等于τ的调幅脉冲序 列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,3…）时出现。由于采样开关闭合时 间τ很小，τ<<T，分析可认为τ=0。采样器的输出f*(t)信号， 等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。
若Z[f1(t)] F1(z), Z[f2 (t) F2 (z)] 则Z[af1(t) bx1(t)] aF1(z) bF2 (z)
2) 延迟定理
则Z[ f (t nT )] z n F ( z) 若Z[f (t)] F(z)
说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数
上乘以 zn ,算子 zn 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟
z k [ f (kTs ) z k f [(k 1)Ts ]z (k !) ......]
z k { f (0) f (Ts ) z 1 ...... f [(k 1)Ts ]z (k 1) f (kTs ) z k f [(k 1)Ts ]z (k 1)......
f (0) f (Ts ) z 1 ...... f [(k 1)Tm ]z (k 1) ]}
8.1 离散控制系统概述
一、离散控制系统特点： 从系统结构上看，含有采样开关； 从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。 二、离散控制系统的两种典型结构 1、采样控制系统
e﹡(t) 是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。 e*(t)作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或 滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。
1 Ts zeaTs a ( z eaTs )2
1
z
a 2 z eaTs
z[(1- eaTs
aTseaTs ) z eaTs (aTs a 2 ( z 1)(z eaTs )2
1 eaTs )]
例6 求 f(t) sint 的Z变换
解：
由欧拉公式
sint e jt e jt
2j
有
Z[sint]
解：
Z[eat ] e z anTs n n0
1 e-aTs z 1 e2aTs z 2 enTs z n
若
eaTs z 1 1
即 eaTs z
1,
则Z [e aT
]
1
1 e aTs
z
1
z z eaTs
2)部分分式法
方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。
n
设理想脉冲序列
T (t) (t) (t T) (t 2T) (t nT)
(t kT)
k0
则采样脉冲序列的数学表达式：
二、信号的复现及装置
f (t) f (t)T (t) f (0) T (t) f (T) T (t T) f (2T) T (t 2T)
f (kT) T (t kT) k0
ss
s
将s=jω代入
Gk ( j)
1 e jT j
Gk ( j) e j
从幅频特性上看，幅值随频率 的增加而衰减，所以零阶保持 器是一低通滤波器。从相频特 性上看，零阶保持器会产生负 相移，使系统的相位滞后增大， 使系统稳定性变差。
8.3 Z变换及反变换
一、 Z变换
(1)Z变换的定义 8.2节指出，一个连续函数 f (t) 经采样后，其采样函数 在数学上表示：
F(s)
Ai
i1 s pi
；然后逐项进行Z变换。
例3 巳知原函数 f (t) 的拉氏变换式为 ，求其Z变换。
解：对拉氏变换式用部分分式展开
F(s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
F(s) 1 s(s 1)
逐项进行Z变换(查Z变换表)有
F (z)
z z 1
z
z eTs
(z
z(1 eTs ) 1)(z eTs
k 1
z k [F (Z )
f (mTs ) z n ]
m0
k 1时
Z[ f (t Ts )] zF ( z) zf (0)
k 2时
Z[ f (t 2Ts )] z 2 F ( z) z 2 f (0) zf (Ts )