2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析七

2019年高考数学二模试卷（理科）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x ﹣4）（x ﹣1）=0}，则M ∩N=（ ）
A ．{1，4}
B ．{﹣1，﹣4}
C ．{0}
D ．∅
2．若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8﹣2πB．8﹣π C．8﹣D．8﹣
5．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”
是“△OAB的面积为”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）
A．﹣B．﹣5 C．5 D．
7．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增
8．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，
b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）
A． B．C．D．4
9．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．B． C．D．
10．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2016=（）A．22016﹣1 B．3•21008﹣3 C．3•21008﹣1 D．3•21007﹣2
11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
12．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③C．①③D．①②
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）
14．当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣3cosx取得最大值，则cosθ的值为．
15．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，
和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，
P和Q的轨迹分别为双曲线C
则C2的渐近线方程为．
16．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．
三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，
（1）求向量；
（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是
△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．
18．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
19．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击
鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
20．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说
明理由．
21．己知函数f（x）=x2e﹣x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1；几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（1）若关于x的不等式f（x）＜|1﹣2a|的解集不是空集，求实数a 的取值范围；
（2）若关于t的一元二次方程t2+2t+f（m）=0有实根，求实数m
的取值范围．
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．
【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，
N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，
则M∩N=∅．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由，得z=i（1﹣i）=1+i．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：
S===
故选：B
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
4．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8﹣2πB．8﹣π C．8﹣D．8﹣
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
5．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”
是“△OAB的面积为”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆；简易逻辑．
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，|AB|=2，
若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．
若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
则（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB 的面积为”的充分不必要条件．
故选：A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．
6．已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）
A ．﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），可得a n+1=3a n ＞0，数列{a n }是等比数列，公比q=3．又a 2+a 4+a 6=9，a 5+a 7+a 9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *）， ∴a n+1=3a n ＞0，
∴数列{a n }是等比数列，公比q=3．
又a 2+a 4+a 6=9， ∴=a
5+a 7+a 9=33×9=35，
则log （a 5+a 7+a 9）=
=﹣5． 故选；B ．
【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即
可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得
．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
8．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，
b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）
A． B．C．D．4
【考点】基本不等式；简单线性规划的应用．
【专题】计算题．
【分析】由已知可得2a+3b=6，则=（2a+3b）（）×，然后利用基本不等式可求最小值
【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线4x﹣y﹣10=0与直线x﹣2y+8=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12
∴4a+6b=12即2a+3b=6
则=（2a+3b）（）×==
当且仅当即a=b=时取等号
故选A
【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
9．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．B． C．D．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为
的关系进
行求解即可． 【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，
过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于D ，交y 轴于M ，
由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ，
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，
则===，
故选：A
【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
10．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1•a n =2n （n ∈N *），则S 2016=（ ）
A ．22016﹣1
B ．3•21008﹣3
C ．3•21008﹣1
D ．3•21007﹣2
【考点】等差数列的前n 项和．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】数列{a n }满足a 1=1，a n+1•a n =2n （n ∈N *），a 2•a 1=2，解得
a 2．当n ≥2时，可得： =2．于是数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．通过分组求和、利用等比数列的前n 项和公式即可得出．
【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1•a n =2n （n ∈N *）， ∴a 2•a 1=2，解得a 2=2．
当n ≥2时， ===2．
∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2． 则S 2016=（a 1+a 3+…+a 2015）+（a 2+a 4+…+a 2016）
=+
=3•21008﹣3．
故选：B ．
【点评】本题考查了等比数列的前n 项和公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1==，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V三棱锥S﹣ABC==．
故选：C．
【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．
12．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③C．①③D．①②
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）
=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f （x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f （x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g （x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20 ．（用数字填写答案）
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．
含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣3cosx取得最大值，则cosθ的值
为﹣．
【考点】三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═sin（x+
α），其中，cosα=，sinα=﹣．由题意可得θ+α=2kπ+，k
∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ的值．
【解答】解：函数f（x）=sinx﹣3cosx=（sinx﹣cosx）
=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=﹣．
故当x+α=2kπ+，k∈Z，即x=2kπ+﹣α，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为．
而由已知可得当x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴2kπ+﹣α=θ，
求得cosθ=sinα=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于中档题．
15．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，
和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，
P和Q的轨迹分别为双曲线C
则C2的渐近线方程为．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．
【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，
∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
16．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一
粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．
【考点】几何概型．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．
【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，
∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，
∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，
∴落到阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，
（1）求向量；
（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是
△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．
【专题】综合题；平面向量及应用．
【分析】（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=
﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；
（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用
同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．【解答】解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①
又②
联立解得，
∴；
（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，
∵，∴．
∴，
∴=，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．
18．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y
，0），只需求即可；
（2）设P（0，y
，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可
得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由
A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出
PQ∥平面ABB
y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为
，根据即可表示，平面AQD的
，从而得出P点
一个法向量为，从而由即可求出y
坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．
【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；
Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；
∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；
∴，；
∴；
∴；
∴AB1⊥PQ；
（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；
∴，0≤λ≤1；
∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；
∴z2=12﹣2y2；
∴P（0，y2，12﹣2y2）；
∴；
平面ABB
A1的一个法向量为；
∵PQ∥平面ABB1A1；
﹣y2）=0；
∴=6（y
∴y1=y2；
∴Q（6，y2，0）；
设平面PQD的法向量为，则：
；
∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
∴；
解得y2=4，或y2=8（舍去）；
∴P（0，4，4）；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；
∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．
19．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击
鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．
【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．
（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）
×+10×+20××100=﹣=．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
20．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说
明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到
，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），
利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；
方法二：设B （x 0，y 0）（x 0≠1），以之表示出直线FB 的方程为
，由此方程求得M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得A
的坐标，由此表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值
【解答】解：（1）椭圆C ：经过点P （1，），
可得
①
由离心率e=得=，即a=2c ，则b 2=3c 2②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）③
代入椭圆方程
并整理得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
x 1+x 2=
，
④
在方程③中，令x=4得，M 的坐标为（4，3k ），
从而
，
，
=k ﹣
注意到A ，F ，B 共线，则有k=k AF =k BF ，即有==k
所以k 1+k 2=+
=
+﹣（
+
）
=2k ﹣×
⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1
又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k3=，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2=+=2×=2k3，
故存在常数λ=2符合题意
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．
21．己知函数f（x）=x2e﹣x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，
∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．
故f（x）的极小值和极大值分别为0，．
（Ⅱ）设切点为（），
则切线方程为y﹣=（x﹣x0），
令y=0，解得x==，
∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，
∴（＜0，
∴x0＜0或x0＞2，
令，
则=．
①当x 0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0；
＞2时，令f′（x0）=0，解得．
②当x
当时，f′（x
）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，
f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．
）取得极小值，也即最小值，且
故当时，函数f（x
=．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1；几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法．
【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．
所以DE2=DB•DA．
（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．
∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．
又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．
从而在Rt△COE中，．
【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）把x=ρcosθ、y=ρsinθ分别代入圆C和直线l的方程化简可得圆C和直线l方程化为极坐标方程．
（2）设P、Q、R的坐标分别为（ρ1，θ）、（ρ，θ）、（ρ2，θ），由|OQ|•|OP|=|OR|2，可得ρρ
=．
再根据ρ2=2，ρ1=，求得点Q轨迹的极坐标方程．
【解答】解：（1）把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入圆C：x2+y2=4可得ρ=2，即圆C的极坐标方程为ρ=2．
把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入直线l：x+y=2，可得l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=2．
（2）设P、Q、R的坐标分别为（ρ1，θ）、（ρ，θ）、（ρ2，θ），
=．
则由|OQ|•|OP|=|OR|2，可得ρρ
又ρ2=2，ρ1=，∴=4，ρ≠0，
即点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程，求曲线的极坐标方程，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（1）若关于x的不等式f（x）＜|1﹣2a|的解集不是空集，求实数a 的取值范围；
（2）若关于t的一元二次方程t2+2t+f（m）=0有实根，求实数m
的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法；不等式．
【分析】（1）由绝对值不等式知f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，从而可得|1﹣2a|＞4，从而解得；
（2）由题意知△=24﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，从而可得
|2m+1|+|2m﹣3|≤6，再分类讨论去绝对值号，从而解得．
【解答】解：（1）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，
∴|1﹣2a|＞4，
∴a＜﹣或a＞，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
（2）由题意知，
△=24﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，
即|2m+1|+|2m﹣3|≤6，
即或或，
解得，﹣1≤m≤2；
故实数m的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题考查了绝对值函数的应用及绝对值不等式的解法，同时考查了分类讨论的思想应用．。