寻根建模 优化选择——《找次品》一课案例与反思

寻根建模优化选择
——《找次品》教学实践与思考【问题背景】
人教版教材专门增设“数学广角”内容，系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，数学思想方法是“数学广角”的灵魂和核心，对学生数学思维的发展具有重要的意义。

《找次品》是人教版数学五年级下册第七单元数学广角的内容。

属于一节思维训练课，主要培养学生的优化意识和逻辑推理能力，同时掌握找次品的最优方法。

但是这节课由于它操作过程复杂，理解过程抽象，答题过程繁琐等原因，一直是小学阶段学生难懂、老师难教的一堂课。

能否有效地从“找次品”问题的本质出发，联系生产生活中的原型，把趣味性和思考性融合在一起，从而让学生在愉快的游戏和操作等学习活动中知其然又知其所以然，既积累数学活动经验又推动了数学基本思想的形成呢？笔者借参加西湖区小学数学课堂教学评比活动的机会，对这一想法进行实践与反思。

在磨课思考的过程中，深刻体会到唯有不断分析原因、寻根建模，才会有突破。

【教学实践】
一、游戏引入，渗透主旨
（课前安排了终极密码和猜成语两个小游戏，初步确立用逐渐缩小包围圈的方法去思考去解决“找次品”问题。

）
师：各位同学，大家下午好！今天初次见面，新朋友见面，送份见面礼，带来两个小游戏，想玩一下吗?答对有奖哦。

生（齐）：想。

（面面相觑，趣味盎然）
师：第一个游戏名称叫做“终极密码”，规则请看大屏幕。

谁先来试试。

（跃跃欲试，争先恐后）：我猜50。

生
1
师：50以下。

谁继续猜。

：10。

生
2
师：10以上。

谁知道现在这个数在
哪个范围里吗？
生
：10到50之间。

3
师：你真聪明，那接着猜吧。

生
：30。

4
师：10到30。

：20。

生
5
师：20到30。

：23。

生
6
师：23到30。

（学生举手越来越踊跃、情绪越来越激动）你们为什么越来越激动了啊？
：越来越好猜了，快猜出来了呗。

生
7
师：那便宜你了，你再猜一个吧。

：我猜25。

生
7
师：25到30。

：27。

（屏气凝神，等待回答）
生
8
师：25到27。

（几乎所有的学生都举手了，并且嘴里“嗯嗯”急切地期待老师请他）你们怎么又激动起来了。

：25到27之间肯定是26了嘛。

（课件移调黑圆圈，显示答案并奖生
9
励）
师：恩，真不错，你们觉得随着一次次猜，难度越来越怎么样了？
：越来越简单了。

生
9
师：为什么会越来越简单呢？
：范围越来越小了，难度就越来越小了。

生
10
师：理解能力真不错。

接下来的游戏叫做猜成语。

略……
师：这两个成语都是在
形容一件事，你觉得哪件事
难度大？
生（齐）：大海捞针。

师：如果在加个“池中
网鱼”你觉得应该放在哪
里？为什么呢？
：我觉得应该放在
生
11
中间，因为它的范围没有大海捞针大，又比瓮中捉鳖难。

师：同意吗？同学们会不会以为今天我要上的是一节语文课啊，非也非也，今天我们就用这三个词语体现出来的一种逐渐缩小包围圈的思想来解决一个数学问题。

（设计意图：有了前面游戏的铺垫，学生的积极性很高，课堂气氛融洽，逐渐缩小包围圈的思想也就成为了“找次品”一课的主心骨。

）
二、激发冲突，刨根问底
设置198瓶口香糖找一瓶较轻次品的教学情境，问难吗？难。

为什么难度大？范围太大犹如大海捞针。

要想难度变小怎么办？尽快缩小范围。

那么怎么
去缩小它的范围呢？怎样用天平称一次把范围缩到尽可能小呢？大部分学生或者说大多数成年人都觉得尽量平均分成两份比较好，无论如何称一次可以把范围缩小到原来的21左右，小部分学生却觉得平均分成三份较好，称一次可以把范围缩小到原来的3
1，有不同的声音，那么我们一起来验证，看看到底哪种最优化。

实践证明尽量平均分成3份更好更快。

这就是我《找次品》这一课为什么没有安排称2瓶而直接称3瓶的原因，天平有两个托盘很容易和2瓶口香糖对应，谁都能想到，两边各方一瓶称一次便可得知，时间紧没必要演示和操作。

而3瓶就很耐人寻味了，如果学生注意力依然停留在天平的两个托盘上，那么可能会出现需要称两次的情况，如果第一次天平平衡，第三个和称过的一个再称一次，直到称出那瓶较轻的为止。

而这么多次试教和正式上课下来，这种情况只出现过一次，而这一次我反倒觉得最精彩，因为紧接着就是大部分同学的反驳，说这两瓶一样重，那么次品一定是没称的那瓶，而此时我可以恰到好处的冒充一回弄不清楚的人提问，那瓶称都没有称你怎么知道它是次品呢？而此时那些弄清楚的人已经有点不耐烦的再次告诉你，只有一瓶次品啊……从而得出“因为只有一瓶次品且较轻，所以天平称两份，可以推理判断没称的一份”这个根本逻辑道理。

然后就是称5瓶，让学生充分体验方法的多样性，学会书写表达过程的同时，让学生明白至少但要保证找到次品，应该用最不利的原则进行思考，彻底弄清楚这点，有利于后续讨论时方向更加明晰，节省时间。

三、再生疑惑，比较明晰
师：那如果待测物品的数量增加到9瓶，你打算怎么分？那种分法需要称的次数最少，请你思考一下，把过程用刚才的方法记录在学习单上。

学生多数用的是9（3,3,3）或者（2,2,5）的方法，个别同学还有非最不利的情况，一一在介绍的过程中进行调整。

师：为什么你们不喜欢9（1,1,7）或者9（4,4,1）的方法。

生1：那样太麻烦了。

生2：运气差的话，范围太大。

师：是不是真是那样呢，请大家看大屏幕。

大屏幕出示下图。

师：你觉得哪种方法最好？需要的次数最少？
生3：第三种。

师：你想过为什么吗？大家可以仔细看打圈的数，你发现了什么？
生4：我发现第三种平均分成三份，称一次范围缩得最小。

师：是的，我们一起来看，要保证找到次品，我们就按最不利的原则来思考，最不利都能找到那么一定能够找到，而在最不利的情况下我每次称都把次品的范围缩小到数量最多的那一堆，所以要尽量缩小范围我们就希望数量最多的那一堆数量尽量少一点，数量最多的那一堆什么时候数量最少？那就是平均分的时候。

板书：平均分三份，范围缩最小。

四、节外生枝，不断充实
8瓶口香糖，找一瓶较轻次品。

体会不能平均分，也要尽量平均分。

五、变式练习，触类旁通
（1）有20瓶水，外观上看起来完全一样，其中19瓶质量相等，另１瓶是盐水，比其他的水略重一些。

至少称几次能保证找出这瓶盐水？
这个练习注重的是知识的完整性，进行一个很好的正向迁移，其实和刚才的研究是一样的，无非刚才次品在轻的一端，而这题次品在重的一段。

（2）如果在若干个物品中找一个较轻次品时，只要5次就能保证找到次品，请你想想待测物品的个数最多可以是几个？
这个练习强调了知识的综合性。

5次最多可以待测几个的问题就是考验学生是否能够综合运用所学的知识，你来顺去都能融会贯通。

六、由表及里，画龙点睛
（1）找次品的三分法图示说明。

“找次品”每称一次，次品要么在左托盘，要么在
右托盘，若都不在就在没称的那一份里三种情况，所以每一次称范围最多可以缩小到原来的3
1，如果是在81个里找，81=34，所以至少需要称4次保证能够找到。

下
图就是找次品的三分法图示说明，更形象地说明了这两
者之间的联系和区别。

（2）实验室里有64只实验用的小白
鼠，其中一只不小心传染了病毒，如果不
尽快隔离，将导致所有的小白鼠得病死
亡，怎样才能尽快找到它。

（把老鼠平均
分成两组，取一组老鼠的血样混合在一起
用显微镜观察，如果有病毒就说明在这一
组，否则在另一组，以此类推，操作6次
即可）
（3）终极密码的二分法图示说明。

课一开始玩得“终极密码”，如果不是这个缩小范围的灵魂所在，根本就不会觉得“终极密码”和”找次品”有什么相干，后来在进行奥数培训时接触过一道题，就是关于终极密码至少需要几次一定能够猜到的问题，和本节课研究的至少需要称几次一定能够找到次品问题，这两者不是惊人的一致吗？我在课的最后环节首位呼应地进行了说明，“终极密码”是因为每次回答只能知道猜大了或者猜小了两种情况，所以每一次猜范围最多缩小到原来的21，26<100<27，所以至少需要猜7次保证能够猜到。

（4）若哪天能制造这样一架天平（如右图所示），你觉
得我们可以用几分法来找次品，那样的话是不是效率更高呢。

（五分法，把待测物品平均分成五份，称一次可以把范围缩小
到原来的5
1）。

每个学生由于知识水平的不同，社会经历不同，对同一问题的理解和把握也各不同。

基于这一认识，新课程标准特别强调人人学有用的数学，不同的人学习不同的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

课最后四托盘天平该如何操作的问题，可以让学生充分发挥想象。

【课后反思】
一、缘起
“找次品”是中小学数学活动或竞赛中经常遇到的问题，现在人教版教材已将此内容面向全体施教，我们在小学的多种教研活动中常听到这类课，包括
我自己，以前每每上到这块内容，效果大多不那么能令人满意。

细细究其原
因，主要有以下几点：
1.教材编排有意思
现实生活生产中的“次品”有许多种不同的情况，有的是外观与合格品不同，有的是所用材料不符合标准等。

但是这节课的教材编排排除了大部分的干扰因素，次品的外观与合格品完全相同，只是质量有所差异，且事先已经知道次品比合格品轻（或重），另外在所有待测物品中只有唯一的一个次品，所以它的研究价值就更具数学性和逻辑性。

找次品”的教学，旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。

优化是一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。

本节课以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。

2.学生学时不喜欢
多年高段教学每每教到《找次品》这块内容，大部分学生觉得烦觉得厌，
学得并不好。

一个是学生觉得表达过程说说容易写起来麻烦，不像一般的应用题，一个算式一个答就解决问题了；另一个是学生大多是知其然而不知其所以然，对于为什么要尽量平均分成三份的原因不清楚，所以死记硬背机械操作，
有时依样画葫芦也画不像，一会儿分三份一会分两份，更不用说灵活运用了，
错误不断。

3.教师教时不明确
教师设计的一般教学过程都是从易到难，拾级而上，然后来发现规律，应用规律。

方法多停留在结果上，而对于为什么分三份而不是两份，为什么要尽可能平均分，并没有让学生进行充分的体验和思考，很多老师自身思考可能也不够透彻，所以有的老师在反思中写道：“当所分物品是偶数个（如4、6、8）时，我发现学生更亲睐于将其平均分成2份。

这种分法在总数是4和6时，并不影响最少次数，但如果是8个物品时，如果平均分成2份，则至少需要3次，而如果分成3份（3、3、2），则只需要2次就可以找出次品。

所以，要引导学生发现规律：应尽量将物品分成3份，能够更好找出次品显得有些牵强。

这时教师该怎样办？”
美国心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解
和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’，使学生终生受益。

”而我当时便坚信一定有一种思想或理论可以支持“找次品”所有研究的过程。

终于功夫不负有心人，终于在书上我看到了二分法和三分法的概
念，给我打开了一片天。

二、寻根。

1.学科内容的归属
找次品的思想方法实际上是优选法中提到的三分法原则，就是把事物平均分成三份，经过一次操作，范围缩小到原来的3
1。

与之相对的是二分法，就是把事物平均分成两份，经过一次操作，范围可以缩小到原来的2
1；生活中有很多这样的例子，二分法比如人不是男的就是女的，自然数不是偶数就是奇数，判断题不是对就是错等等。

而有一些事物可能有三面，比如自然数按照因数的个数分可以分成1、质数和合数三类，选择题有A 、B 、C 三个选项等等都是三分法。

而天平不一样，如果只关注两个托盘那就是二分法，如果你还关注不称的一份那就是三分法，二分法三分法都可以实现，而三分法效率更高，四分、五分法普通天平是现实不了的。

那么生活中我丢了东西要去寻找，用排除法缩小范围，警察破案收集那么多线索为的也是尽快缩小范围，与找次品一课有什么联系，能否认为就是N 分法呢？
基于以上理解，确立了我用不断缩小范围的思想来教孩子解决“找次品”问题的思路，提出每一次称都能把范围缩到最小，那么就能够最快的找到次品的理论，而这就是“找次品”问题的根啊。

因为天平有两个托盘，而称两份可以判断没称的那一份，所以分成三份效率更高、不浪费；而称的次数最少又要保证找到次品，所以要按最不利的情况进行思考，最不利的情况下都能找到，那一定能够找到；用天平分成三份来找，在最不利的情况下次品的范围总是落到三堆中数量最多的那一堆，为了尽快找到次品，我们就会希望数量最多的那一堆少一点，所以就要尽量平均分。

这样一思考，我们可以发现“找次品”的黄金法则都有了依靠，不再单单是一个结果了，学生理解多一点，灵活应用就能多一分。

2.思想方法的归属。

我在信息的海洋里不断查找这方面的知识，发现原来这是一门好大的学问，最为相关的是华罗庚的优选法原则了。

优选法，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法。

例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。

把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。

也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。

最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。

举个具体的例子，比如两根电线杆之间电线某处断路了，如何尽快的找到断路的地方呢？如果简单按照二分法原则，取一半检测，可以实现每检测一次把范围缩小到原来长度的21；如果按照三分法原则，取3
1检测，如果不通电范围缩小到原来长度的31，但是如果通电范围只能缩小到原来长度的3
2，并不能保证到3
1，所以三分法实现不了。

而优选法则还需关注概率的问题，有时候运气好有时候运
气不好，那么怎么操作才效率最高呢？通过求函
数或泛函的极值，最终得出黄金分割法为最优化
方法。

3.哲学思想的归属。

按照辩证唯物主义的思想事物一般有正反两面，所以大部分情况都是二分法。

生活中，西方国家的人解决问题时，习惯一分为二地把事物分成对立的两部分，最后的判断结论不是这个，就一定是那个的这种思维方式就是二分法。

表面上看，这种思维方式简单明了，黑白分明，对人们正确认识和解决问题有很大帮助，但这种“二选一”的结果往往使人的思维趋于僵硬和极端，易失去新的视角或在新的层面上分析解决问题的机会。

而中国人推崇阴阳合一，把事物看作统一的可以相互转化的“三个部分”来思考。

早在三千多年前，周文王就用太极图来描述世间的万事万物及其变化规律。

太极图由阴、阳及冲（其分界线）三部分构成，分界线的变化导致阴阳相互消长，并影响事物的变化方向。

《老子》说的“万物负阴而抱阳，冲气以为和”中的这个冲气，正是这阴阳分界线。

可见，太极图准确的描述了世界的“三分”特性。

我们熟知的天地人、大中小、正零负、左中右、前中后、上中下、敌我友等等，无不可以用阴阳冲（分界线）来加以描述所以“三分法”是中国文化的产物，是一种辩证地思维法则。

当我们提出问题、分析问题、解决问题时，应该充分考虑世界的“三分”特性。

先用“二分法”发现问题、提出问题，辩明是非，再用“三分法”分析问题、转化矛盾最终解决问题。

“二分法”推崇“二选一”的思维方式，而“三分法”则主张“二进一”的思维方式，用天平找次品正是利用了三分法“二进一”的策略才得以实现的。

当我看到这些时，觉得自己的想法终于有了归属，终于被人认同了，这不免让人有点兴奋。

虽然对于我们的孩子绝对不需要也不能搞得这么复杂，但是我们的老师需要去了解这些，所谓“要给学生一碗水，老师必须有一桶水。

”
三、建模。

1.思想认识的建模
基于三分法理论，建立找次品三分原则，从思想认识上把找次品问题理解为：因为天平有两个托盘，而称两份可以判断没称的那一份，所以分成三份效率更高、不浪费；而称的次数最少又要保证找到次品，所以要按最不利的情况进行思考，最不利的情况下都能找到，那一定能够找到；用天平分成三份来找，在最不利的情况下次品的范围总是落到三堆中数量最多的那一堆，为了尽快找到次品，我们就会希望数量最多的那一堆少一点，所以就要尽量平均分。

这样一思考，我们可以发现“找次品”的黄金法则都有了依靠，不再单单是一个结果了，学生理解多一点，灵活应用就能多一分。

2.教学过程的建模
在缩小范围的思想引领下，让学生明晰舍二取三的缘由，凸显三分法在找次品问题上的作用，大致确立以下几个操作体验的活动环节：
环节(1)3瓶中找一瓶较轻次品,体验称两份对没称那份也有判断的作用。

环节(2)5瓶中找一瓶较轻次品,体验至少还要保证，应按最不利原则进行思考。

环节(3)9瓶中找一瓶较轻次品,体验“平均分三份，范围缩最小”。

环节(4)8瓶中找一瓶较轻次品,体验“不能平均分，尽量平均分”。

环节(5)小结找次品问题的黄金法则，并说明其相互关系，最后解决问题。

3.表达呈现的建模
如右图所示括号前为称之前的范
围，括号内为尽量平均分成3份的分组
情况，三角形和横线表示天平，有时平
衡有时倾斜，按照最不利原则，次品一
定落到数量最多的那一份里面，也就是
画了圆圈的这份。

如果最不利的情况下都能找到，那么一定能够保证找到。

最后箭头的数量即为保证找出次品至少需要称量的次数。

这样的表达既简单、形象，又比较全面，学生易操作、易理解。

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。

不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的渗透和建立。

“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。

”（张奠宙）要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升；深入研读教材，提高思想方法渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反
复性，寻根建模、优化选择，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展，进而提高学生的数学文化素养。

一堂课的锤炼让我对课的思考有了更深的认识。

磨课实践的过程告诉我：只有让学生知其然，又知其所以然，才能让学生真正明白一个道理。

以上内容便是我和“找次品”一课的第N次亲密接触。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。