9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件 (共30张PPT) 数学冀教版七年级下册

高(D) C
AD
D
BC B
B C
CA B
A.
B.
AD C.
D
A
D.
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
3、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长
为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，
知识点1 三角形的角平分线
1.复习用量角器或折纸的办法画出或折出 一个角的平分线。
角平分线的定义及画法： 从一个角的顶点引出的一条射 线把这个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2.什么是三角形的角平分线？
定义：在三角形中，一个内角的平分线与
这个角的对边相交，这Байду номын сангаас角的顶点和交点
A
之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，
EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由．
导引：要知道DO 是不是△DEF 的角平 分线，只需要知道∠EDO 与 ∠FDO 是否相等．若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定．
解：DO 是△DEF 的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC 的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)．
若和“DE∥AB ”交换． 理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
∵AD 是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA. ∵DO 是∠EDF 的平分线， ∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD.
∴DE∥AB.
(答案不唯一)
4 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别
线，观察它们有什么特点?
A
A
F OE
F
OE
B
D
CB
D
CB
A F OE
D
C
①三角形的中线是一条线段。 ②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内 部交于一点，这个交点叫做这个三角形的重心。
4．用薄厚均匀的硬纸板裁出一个三角形，画出这个 三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔， 通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，三角形硬 纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？
三角形 的高线
三角形 的中线
从三角形的一个顶点向它
的对边所在的直线作垂
B
线,顶___点__和_垂__足__之间的
B
_线__段__
三角形中,连结一个顶点和 它对边中__点__的 线__段__，三
B
条中线的交点叫做_重__心__ B
AA
D
C
DC
AA
D
C
DC
∵AD是△ABC的高线 ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°
画出图中△ABC 的三条高．(要标明字母，不写画法)
导引：“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点) 作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”按照“过一点作 已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为 该边上的高；需注意AB，BC 边上的高在三角形的外部， 作高时先延长AB 与CB.
解：如图所示.
总结
(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的 步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤： 一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、 二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、 三画线(画垂线段)，如图. (2)注意：高是线段，垂线是直线．
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的
正确吗？若正确，请选择一个说明理由．
解：(1)DO 是∠EDF 的平分线． 证明如下：∵AD是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD. ∴∠EDA＝∠FDA. ∴DO 是∠EDF 的平分线．
(2)与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确.
求AB与AC的长.
解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD. ∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm， ∴AC+AB=35-11=24(cm). 又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm, ∴AB-AC=3， ∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
C A
D B
1 能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是( A ) A．三角形的中线 B．三角形的高 C．三角形的角平分线 D．以上三种情况都正确
2 如图，AD 是∠CAB 的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF 交AD 于点O.
请问： (1)DO 是∠EDF 的平分线吗？ 如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由． (2)若将“DO 是∠EDF 的平分线”与“AD 是∠CAB 的平分线”，
“DE∥AB ”，“DF∥AC ”三个条件中的任一条件交换，所得说法
因为DE∥AC，DF∥AB，
所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行， 内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF (等量代换)， 所以DO 是△DEF 的角平分线．
总结
本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角， 再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平 分线的定义说明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程， 这就是定义法．
三角形硬纸板处于平衡状态，这种现 象说明了重心能使物体保持平衡。
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准 备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子 要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提 出一种平分的方案．
导引：根据等底同高的三角形的面积相 等，要等分三角形的面积，只需 要作出一条边上的中线即可.
1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念. 2.会画出已知三角形的角平分线、中线和高. 3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
重点
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
难点
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
上节课我们学习三角形按角分为哪几类？
1．锐角三角形； 2．直角三角形； 3．钝角三角形。
角平分线的符号语言：
∵ AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= 12∠BAC B
D
C
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分 别有几条角平分线？画出它们的角平分线，观察它们 有什么特点?
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一 条射线。 ②任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的 内部交于一点。
总结
(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.
知识点3 三角形的高
1. 复习“过一点作已知直线的垂线”：
2.什么是三角形的高线？
定义：三角形的一个顶点到它
为D，E，若BC＝10，AC＝8，BE＝ 17，求AD 的长. 2
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴S△ABC＝
1 2
·BC·AD＝
1 2
·AC·BE.
∴BC ·AD＝AC ·BE.
又∵BC＝10，AC＝8，BE＝ ∴10AD＝8×17 .
127，
2
∴AD＝6.8.
三角形的 重要线段
概念
图示
表述方式
∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD= ½BC
三角形一个内角的 三角形的 _平__分__线___与它的对边相交,
B 角平分线 这个角顶点与交点之间的 B _线__段__
AA
11
2
2
D C ∵.AD是∠BAC的平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
解： 根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC 的 中线AD (如图)，则AD 就把△ABC 的面积平分成两份．这是因 为AD 是△ABC 的中线，所以BD＝DC.过点A 作AE⊥BC 于点E. 在△ABD 和△ACD 中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由 三角形的面积计算公式，知△ABD 和△ACD 的面积相等，因此， 要把△ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是一种 平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC 边上的中线也可以)
知识点2 三角形的中线
1.复习线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点。
2.什么是三角形的中线？
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对
边中点的线段叫做这个三角形的中线。
三角形中线的符号语言：
A
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=12 BC
.
B
D
C
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形分别有几条中线？画出它们的中
对边所在直线的垂线段叫做三
A
角形的高线，简称三角形的高。
三角形高的符号语言：
∵AD是△ABC的高
B
D
C
∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90°
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形分别有几条高线？画出它们的高线， 观察它们有什么特点?
①三角形的高是一条线段。 ②任何三角形有三条高，三条高（或高的延长线)相交 于一点。可分为锐角三角形（内部），直角三角形 （直角顶点），钝角三角形（外部）。