2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(物理)江苏专版第12章第1节简谐运动、单摆及受迫振动
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第1节
简谐运动、单摆及受迫振动
考点1：简谐运动的特点
【例1】如图1213所示，一弹簧振子在振动过程中， 经过a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s， 从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频 率为( ) A．1Hz B．1.25Hz C．2Hz D．2.5Hz
图1213
【解析】振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子 的运动特点，不难判断a、b两点相对平衡位置(O点) 一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是 0.2s，由于“从b再回到a的最短时间是0.4s，”说 明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振 子的最大位移．设图中的c、d为最大位移处，则振 子从b→c→b历时0.2s，同理，振子从a→d→a，也 历时0.2s，故该振子的周期T=0.8s，根据周期和频 率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为 1.25Hz.综上所述，本题应选择B.
图1215
A．适当增大筛子的质量 B．适当增大偏心轮电动机的输入电压 C．适当增大筛子的质量同时适当增大偏心轮电动 机的输入电压 D．适当减小筛子的质量同时适当减小偏心轮电动 机的输入电压
【解析】当驱动周期与固有周期接近时，振幅将会 增大．由题意得，电动偏心轮的周期为0.75s，所以 我们可以增来增大振幅．所以选项D不可能实现． 答案： D 点评：要正确理解受迫振动的频率与驱动力的频率 之间的关系，以及做受迫振动的系统的振幅与驱动 力频率的关系．
r
沿切线方向：回复力F mgsin，改变速
度大小．
考点4：受迫振动与共振
【例4】(2010•海淀一模)如图1215所示，将一个筛子用四 根弹簧支起来(后排的两根弹簧未画出)，筛子上装一个 电动偏心轮，这就做成了一个共振筛．工作时偏心轮被 电动机带动匀速转动，从而给筛子施加与偏心轮转动周 期相同的周期性驱动力，使它做受迫振动．现有一个共 振筛其固有周期为0.08s，电动偏心轮的转速是80r/min， 在使用过程中发现筛子做受迫振动的振幅较小．已知增 大偏心轮电动机的输入电压，可使其转速提高；增加筛 子的质量，可以增大筛子的固有周期．下列做法中不可 能实现增大筛子做受迫振动的振幅的是( )
点评：搞清楚物体受力以及物体受到的在振动方向 上的合力是否指向平衡位置，并与离开平衡位置的 位移成正比就可以得到正确结论．
思维拓展：分析物体所受到的力，看物体在振动方 向上受到的回复力是否满足简谐运动的要求．
题型二：求简谐运动的质点的位移和路程 【例6】(2010•江苏南通调研)如图1216所示，一弹簧 振子在MN间沿光滑水平杆做简谐运动，O为平衡位 置，C为ON中点，振幅A=4cm.从小球经过图中N点 时开始计时，到第一次经过C点的时间为0.2s，则小 球 的 振 动 周 期 为 ______s ， 振 动 方 程 的 表 达 式 为 ______cm.
图1214
【解析】从图象上可以看出，振动过程中，质点偏 离平衡位置的最大距离为10cm，A项正确；从1s末 到2s末的时间内，质点相对于平衡位置的位移越来 越小，是向着平衡位置运动的，B项正确；位移— 时间图象的斜率，就是质点的速度，第2s末时，图 象斜率为负，说明质点沿着x轴负方向运动，第4s末 时，图象斜率为正，说明质点沿着x轴正方向运动， 所以C项错误；从图象可以看出，这是一条正弦曲 线，说明质点做的振动是简谐振动，但完成一次往 复运动的时间是4秒，D项错误．综述AB项正确．
答案：B 点评：对简谐运动来讲，物体离开平衡位置的过程，
v、Ek均减小，x、F、a、Ep均增大；物体向平衡位 置移动时，v、Ek均增大，x、F、a、Ep均减小．平 衡位置两侧的对称点上，x、F、a、v、Ek、Ep的大 小均相同．简谐运动是一种变加速运动，在平衡位
置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速
答案： AB 点评：振动图象从本质上讲是振子相对于平衡位置 的位移随时间变化的位移—时间图象．所以做简谐 运动时，速度的大小和方向都在做周期性变化，是 加速度不断变化的变加速运动．
考点3：单摆的周期
【例3】做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增 加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原 来的1/2，则单摆振动的( ) A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变 C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
题型一：确定物体做简谐运动的方法
【例5】一根均匀细木杆，一端固定一铁钉(使木杆 能竖直立于水上)放入水中，现用力把杆往下压， 松开后，杆将如何运动(忽略水的粘滞阻力)?
【解析】杆受到重力与水的浮力作用，现在是处于 稳定的平衡状态．当用力把杆往下压时，在重力不 变的情况下，浮力增大，阻碍杆向下，松开压力后 使杆上升．而杆回到原来的平衡态时，由于具有了 一定的速度，它不会停在平衡位置，继续上升，浮 力小于重力，速度减小到零后，又开始向下，从而 形成机械振动．
为：x Acos 2 t.根据题意写出振子的振动方程，代
T 入题中所给的条件进行求解．
题型三：摆钟问题
【例7】有一星体半径为地球半径的2倍，平均密度 与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该星 体的表面，秒针走一圈的实际时间为( )
A．1/ 2 min B．( 2 / 2)min
C. 2min D．2min
【解析】由单摆的周期公式T 2 l 可知，单摆摆长
g
不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运
动过程中的能量大小的物理量，由Ek
1 mv2可知， 2
摆球经过平衡位置时的动能不变，而质量改变，因此
振幅改变，所以C正确．
答案： C
点评：单摆中摆球运动时，沿半径方向：
T mgcos m v2 ，向心力改变速度方向；
2 摆钟显示时间的计算：显示时间等于摆动次数
N与设计周期T0的乘积，即t显 NT0. N准与设计周期T0的乘积，即t准 N准T0.于是可以得
到 t显 N . t N准
3 走时准确的钟显示的时间为t显时，准确的时间
由T0和T 来表示应该是：t
t显
T T0
.
【解析】由万有引力和重力的关系：
mg
GMm R2
，GM
gR2
g星 M星 g地 M地
R地2 R星2
星 地
4 3
R星3
R地2
R星
2
4 3
R地3
R星2
R地
1
则钟摆在两天体上的周期之比：
T星 g地 1
T地
g星
2
秒钟转一圈的全振动次数相等
则 t星 t地
1 2
2 2
，即t星
2 min 2
答案： B 点评：本题考查单摆的周期公式及影响周期变化的 因素，对于解摆钟类问题是一关键，即不管钟走得 准还是不准，摆做一次全振动，指示针在表身上走 的格数(也就是钟表的指示时间)都是一致的，而区 别钟走的快慢，就是在一段标准时间里，摆的振动 次数是否合适．
以现在杆所处的位置为平衡位置，令把杆往下
压的距离为x，水的密度为ρ0，杆的横截面积为S.由 于重力没变，因为下压x而导致增大的浮力ΔF可以 这样计算ΔF=ρ0Sxg，考虑到ΔF与位移x方向相反， 且ΔF就是杆受到的合力，也就是回复力F，故F=-
ρ0Sxg满足简谐运动的回复力条件，所以，杆将在 上下方向上做简谐运动．
思维拓展：(1)摆钟的快慢问题就是摆钟的周期问 题．摆钟是慢还是快，其意思是：摆钟设计时，
已经给了它一个准确的周期，我们用T0表示，但 是由于机械制造工艺或者摆钟所处的经纬度的不
同，其实际摆动周期T可能会与设计周期有偏 差．而显示的时间却是按照T0来显示的．于是就 有快慢．
当T T0时，摆钟变慢；当T T0时，摆钟变快．
图1216
【解析】从振子经过N点开始计时，振子的振动方
程为：x Acos 2 t，从题意可知，振子从N点第
T 一次运动到C点所用的时间为：t 0.2s，振子的 振幅为4cm，C点的位移为2cm，代入振动方程解
得：T 1.2s；振子的振动方程为：x 4cos 5 tcm.
3
答案：1.2s 4cos 5 tcm
度为零，加速度最大．
考点二：简谐运动的图象 【例2】某一质点的振动图象如图1214所示，则由图 象判断下列说法正确的是( ) A．质点偏离平衡位置的最大距离为10cm B．1s末到2s末的时间内质点向着平衡位置运动 C．第2s末时和第4s末时质点的运动方向相同 D．质点所做的运动是简谐运动，在2s内完成一次往 复运动
3
点评：若从振子通过平衡位置向正向最大位移运动开
始计时，振子的振动方程为：x Asin 2 t，若从振子
T 通过平衡位置向负向最大位移运动开始计时，振子的
振动方程为：x Asin 2 t，若从振子通过正向最大
T
位移开始计时，振子的振动方程为：x Acos 2 t，若
T 从振子通过负向最大位移开始计时，振子的振动方程
简谐运动、单摆及受迫振动
考点1：简谐运动的特点
【例1】如图1213所示，一弹簧振子在振动过程中， 经过a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s， 从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频 率为( ) A．1Hz B．1.25Hz C．2Hz D．2.5Hz
图1213
【解析】振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子 的运动特点，不难判断a、b两点相对平衡位置(O点) 一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是 0.2s，由于“从b再回到a的最短时间是0.4s，”说 明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振 子的最大位移．设图中的c、d为最大位移处，则振 子从b→c→b历时0.2s，同理，振子从a→d→a，也 历时0.2s，故该振子的周期T=0.8s，根据周期和频 率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为 1.25Hz.综上所述，本题应选择B.
图1215
A．适当增大筛子的质量 B．适当增大偏心轮电动机的输入电压 C．适当增大筛子的质量同时适当增大偏心轮电动 机的输入电压 D．适当减小筛子的质量同时适当减小偏心轮电动 机的输入电压
【解析】当驱动周期与固有周期接近时，振幅将会 增大．由题意得，电动偏心轮的周期为0.75s，所以 我们可以增来增大振幅．所以选项D不可能实现． 答案： D 点评：要正确理解受迫振动的频率与驱动力的频率 之间的关系，以及做受迫振动的系统的振幅与驱动 力频率的关系．
r
沿切线方向：回复力F mgsin，改变速
度大小．
考点4：受迫振动与共振
【例4】(2010•海淀一模)如图1215所示，将一个筛子用四 根弹簧支起来(后排的两根弹簧未画出)，筛子上装一个 电动偏心轮，这就做成了一个共振筛．工作时偏心轮被 电动机带动匀速转动，从而给筛子施加与偏心轮转动周 期相同的周期性驱动力，使它做受迫振动．现有一个共 振筛其固有周期为0.08s，电动偏心轮的转速是80r/min， 在使用过程中发现筛子做受迫振动的振幅较小．已知增 大偏心轮电动机的输入电压，可使其转速提高；增加筛 子的质量，可以增大筛子的固有周期．下列做法中不可 能实现增大筛子做受迫振动的振幅的是( )
点评：搞清楚物体受力以及物体受到的在振动方向 上的合力是否指向平衡位置，并与离开平衡位置的 位移成正比就可以得到正确结论．
思维拓展：分析物体所受到的力，看物体在振动方 向上受到的回复力是否满足简谐运动的要求．
题型二：求简谐运动的质点的位移和路程 【例6】(2010•江苏南通调研)如图1216所示，一弹簧 振子在MN间沿光滑水平杆做简谐运动，O为平衡位 置，C为ON中点，振幅A=4cm.从小球经过图中N点 时开始计时，到第一次经过C点的时间为0.2s，则小 球 的 振 动 周 期 为 ______s ， 振 动 方 程 的 表 达 式 为 ______cm.
图1214
【解析】从图象上可以看出，振动过程中，质点偏 离平衡位置的最大距离为10cm，A项正确；从1s末 到2s末的时间内，质点相对于平衡位置的位移越来 越小，是向着平衡位置运动的，B项正确；位移— 时间图象的斜率，就是质点的速度，第2s末时，图 象斜率为负，说明质点沿着x轴负方向运动，第4s末 时，图象斜率为正，说明质点沿着x轴正方向运动， 所以C项错误；从图象可以看出，这是一条正弦曲 线，说明质点做的振动是简谐振动，但完成一次往 复运动的时间是4秒，D项错误．综述AB项正确．
答案：B 点评：对简谐运动来讲，物体离开平衡位置的过程，
v、Ek均减小，x、F、a、Ep均增大；物体向平衡位 置移动时，v、Ek均增大，x、F、a、Ep均减小．平 衡位置两侧的对称点上，x、F、a、v、Ek、Ep的大 小均相同．简谐运动是一种变加速运动，在平衡位
置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速
答案： AB 点评：振动图象从本质上讲是振子相对于平衡位置 的位移随时间变化的位移—时间图象．所以做简谐 运动时，速度的大小和方向都在做周期性变化，是 加速度不断变化的变加速运动．
考点3：单摆的周期
【例3】做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增 加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原 来的1/2，则单摆振动的( ) A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变 C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
题型一：确定物体做简谐运动的方法
【例5】一根均匀细木杆，一端固定一铁钉(使木杆 能竖直立于水上)放入水中，现用力把杆往下压， 松开后，杆将如何运动(忽略水的粘滞阻力)?
【解析】杆受到重力与水的浮力作用，现在是处于 稳定的平衡状态．当用力把杆往下压时，在重力不 变的情况下，浮力增大，阻碍杆向下，松开压力后 使杆上升．而杆回到原来的平衡态时，由于具有了 一定的速度，它不会停在平衡位置，继续上升，浮 力小于重力，速度减小到零后，又开始向下，从而 形成机械振动．
为：x Acos 2 t.根据题意写出振子的振动方程，代
T 入题中所给的条件进行求解．
题型三：摆钟问题
【例7】有一星体半径为地球半径的2倍，平均密度 与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该星 体的表面，秒针走一圈的实际时间为( )
A．1/ 2 min B．( 2 / 2)min
C. 2min D．2min
【解析】由单摆的周期公式T 2 l 可知，单摆摆长
g
不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运
动过程中的能量大小的物理量，由Ek
1 mv2可知， 2
摆球经过平衡位置时的动能不变，而质量改变，因此
振幅改变，所以C正确．
答案： C
点评：单摆中摆球运动时，沿半径方向：
T mgcos m v2 ，向心力改变速度方向；
2 摆钟显示时间的计算：显示时间等于摆动次数
N与设计周期T0的乘积，即t显 NT0. N准与设计周期T0的乘积，即t准 N准T0.于是可以得
到 t显 N . t N准
3 走时准确的钟显示的时间为t显时，准确的时间
由T0和T 来表示应该是：t
t显
T T0
.
【解析】由万有引力和重力的关系：
mg
GMm R2
，GM
gR2
g星 M星 g地 M地
R地2 R星2
星 地
4 3
R星3
R地2
R星
2
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R地3
R星2
R地
1
则钟摆在两天体上的周期之比：
T星 g地 1
T地
g星
2
秒钟转一圈的全振动次数相等
则 t星 t地
1 2
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，即t星
2 min 2
答案： B 点评：本题考查单摆的周期公式及影响周期变化的 因素，对于解摆钟类问题是一关键，即不管钟走得 准还是不准，摆做一次全振动，指示针在表身上走 的格数(也就是钟表的指示时间)都是一致的，而区 别钟走的快慢，就是在一段标准时间里，摆的振动 次数是否合适．
以现在杆所处的位置为平衡位置，令把杆往下
压的距离为x，水的密度为ρ0，杆的横截面积为S.由 于重力没变，因为下压x而导致增大的浮力ΔF可以 这样计算ΔF=ρ0Sxg，考虑到ΔF与位移x方向相反， 且ΔF就是杆受到的合力，也就是回复力F，故F=-
ρ0Sxg满足简谐运动的回复力条件，所以，杆将在 上下方向上做简谐运动．
思维拓展：(1)摆钟的快慢问题就是摆钟的周期问 题．摆钟是慢还是快，其意思是：摆钟设计时，
已经给了它一个准确的周期，我们用T0表示，但 是由于机械制造工艺或者摆钟所处的经纬度的不
同，其实际摆动周期T可能会与设计周期有偏 差．而显示的时间却是按照T0来显示的．于是就 有快慢．
当T T0时，摆钟变慢；当T T0时，摆钟变快．
图1216
【解析】从振子经过N点开始计时，振子的振动方
程为：x Acos 2 t，从题意可知，振子从N点第
T 一次运动到C点所用的时间为：t 0.2s，振子的 振幅为4cm，C点的位移为2cm，代入振动方程解
得：T 1.2s；振子的振动方程为：x 4cos 5 tcm.
3
答案：1.2s 4cos 5 tcm
度为零，加速度最大．
考点二：简谐运动的图象 【例2】某一质点的振动图象如图1214所示，则由图 象判断下列说法正确的是( ) A．质点偏离平衡位置的最大距离为10cm B．1s末到2s末的时间内质点向着平衡位置运动 C．第2s末时和第4s末时质点的运动方向相同 D．质点所做的运动是简谐运动，在2s内完成一次往 复运动
3
点评：若从振子通过平衡位置向正向最大位移运动开
始计时，振子的振动方程为：x Asin 2 t，若从振子
T 通过平衡位置向负向最大位移运动开始计时，振子的
振动方程为：x Asin 2 t，若从振子通过正向最大
T
位移开始计时，振子的振动方程为：x Acos 2 t，若
T 从振子通过负向最大位移开始计时，振子的振动方程