( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-2：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)

[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
时间内的位移为( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
3 C.2g 解析：物体下落的距离 s＝2gtdt，
1
则有 s＝12gt221 ＝12g(22－12)＝32g.
D．2g
答案：C
2．一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]
＝9x20 ＋(x2＋5x)62 ＝18＋52＝70(J)．
利用定积分解决物理问题 [典例] (本题满分 12 分)如图，在某一温度下，直径为 0.2 m，高为 0.8 m 上端为活 塞的圆柱体内某气体的压强 P(N/m2)与体积 V(m3)的函数关系式为 P＝8V0，而正压力 F(N)与压强 P(N/m2)的函数关系为 F＝PS，其中 S(m2)为受力面积．设温度保持不变， 要使气体的体积缩小为原来的一半，求活塞克服气体压力做的功．
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
的位移为( )
A．405
B．540
C．810
D．945
解析：由 v(t)＝0，得 t＝30，
∴位移 s＝30 (27－0.9t)dt 0
＝(27t－0.45t2)030 ＝405.
答案：A
2．若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，则力所做的功为( )
A．0.05 J
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
课时作业
定积分在物理中的应用
[自主梳理]
变速直 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
线运动
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
S＝bv(t)dt a
变力 做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力
F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的
8290(x＋20)dx＋12020dx
0
50
90
＝ 83(21x2＋20x)500 ＋ 82(21x2＋20x)9500 ＋20x19200
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
怎样求变力所做的功？ (1)首先要明确变力的函数式 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
当 t＝6 时，
点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即
4t2－23t3＝0，
0
解得 t＝0 或 t＝6.
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
怎样求变速直线运动的路程、位移？
(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，
B．0.5 J
C．1 J
D．5 J
解析：设 F(x)＝kx，由已知 x＝0.01 时，F(0.01)＝1，
∴0.01k＝1，∴k＝100，∴F(x)＝100x.
伸长 10 cm 时，力所做的功
W＝0.1100xdx＝50x200.1 ＝50×0.01＝0.5(J)． 0
答案：B
3．一物体在力 F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移的单位：m)作用下沿与力 F(x)
[解析] 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°. 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得
W＝50
(14x＋5)cos
30°dx＋90(14x＋5)cos
45°dx＋12020dx
0
50
90
＝
350
8
(x＋20)dx＋
a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
2．一物体在力 F(x)＝92，x＋0≤5，x≤x>22， (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x＝0 处运动到 x＝6(单位：m)处，求力 F(x)做的功．
解析：W＝6F(x)dx＝29dx＋6(2x＋5)dx
0
0
2
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
考纲定位
重难突破
重点：利用定积分求变速直线 1.通过具体实例了解定积分
运动的路程、位移和变力所做 在物理中的应用．
的功． 2．会求变速直线运动的路程、
难点：正确区分实际问题的路 位移和变力做功问题.
程和位移.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
答案：C
4．已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝t1 到 t＝t2 质点的平均速度为________．
解析：∵质点运动的位移
s＝tt1210tdt＝5t2
t2 t1
＝5t22－5t21，
∴平均速度 v ＝5tt222－ －5t1t12＝5(t1＋t2)．
答案：5(t1＋t2)
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
相同的方向由 x＝5 m 直线运动到 x＝10 m 处，作用力 F(x)所做的功 W 为( )
A．925 J
B．850 J
C．825 J
D．800 J
解析：W＝10F(x)dx＝∫150(3x2－2x＋5)dx 5
＝(x3－x2＋5x)150 ＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
0
∴活塞克服气体压力做 80ln 2 J 功. …………………………………………………12 分
[反思提升] 解决实际应用问题时，要注意函数表达式，求出后，一定要根 据实际意义，确定值域，否则，结论会不正确．
[随堂训练]
1．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后至停车时