中考数学总复习专题三开放探究题
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即双曲线的解析式为
4
y=.
设点 A 的坐标为(m,n),
因为点 A 在双曲线上,所以 mn=4.
又 tan∠AOx=4,
所以 =4,即 n=4m.
由①②得 m2=1,所以 m=±1.
因为点 A 在第一象限,
所以 m=1,n=4,即点 A 的坐标为(1,4).
把点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx 中,
考向四
【例3】 (1)如图①,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上
任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若
∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择
另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
=4
所以点 D 的坐标是(3,18).
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一 条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,
逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,
确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一 条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,∴∠ACP=120°.
能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合
课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和
思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放
等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结
4 = + ,
得
解得 a=1,b=3.
-2 = 4-2,
所以抛物线的解析式为 y=x2+3x.
①
②
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)把点 B(-2,-2)的坐标代入 y= 中,
-2
得-2= ,所以 k=4.
即双曲线的解析式为
4
y=.
设点 A 的坐标为(m,n),
因为点 A 在双曲线上,所以 mn=4.
理由:过点 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D.
因为直线 AB 所对应的一次函数是 y=2x+2,
且点 C 的坐标为(-4,4),CD∥AB,
所以直线 CD 对应的一次函数是 y=2x+12.
= 2 + 3,
解方程组
= 2 + 12,
= 3,
= -4,
得
或
(舍去).
= 18
∴CD=x,∴AC=AD-CD= 3x-x.
1
∵AC=30×2=15,∴ 3x-x=15,∴x≈21.4.
∵21.4>15,
故货轮没有触礁的危险.
答:货轮没有触礁的危险
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
论,并且将符合条件的结论一一罗列出来,或者对相应的结论的
“存在性”加以推断,甚至探究条件变化时的结论,这些问题都是
结论开放型问题.解决此类问题要求利用条件大胆而合理地猜想,
发现规律,得出结论.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例2】 如图,海中有一小岛B,它的周围15海里内有暗礁.有一货
轮以30海里/时的速度向正北航行,当它航行到A处时,发现岛B在它
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
又 tan∠AOx=4,
所以 =4,即 n=4m.
由①②得 m2=1,所以 m=±1.
因为点 A 在第一象限,
所以 m=1,n=4,即点 A 的坐标为(1,4).
把点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx 中,
4 = + ,
得
解得 a=1,b=3.
-2 = 4-2,
所以抛物线的解析式为 y=x2+3x.
专题三
开放探究题
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的
结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与
否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自
编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础
知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的
论.解决此类问题的关键是对已知的条件进行综合推理,导出新的
结论.探究结论存在型问题的解法一般是先假定存在,然后结合现
有的条件进行推理,最后推导出问题的解或矛盾再加以说明.归纳
探究型问题是指给出一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由
特殊猜测一般的结论或规律,解决此类问题的一般方法是对由特殊
得到的结论进行合理猜想,并进行验证.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
∴∠AEM=∠MCN=120°.
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠BAM(∠B=∠AMN=60°),
∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN.
(3)
180(-2)
论存在与否型及归纳探究型四种.
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的
结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与
否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自
编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础
知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
直线AC∥x轴,交抛物线于点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式.
(2)计算△ABC的面积.
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?
若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)把点 B(-2,-2)的坐标代入 y= 中,
-2
得-2= ,所以 k=4.
论存在与否型及归纳探究型四种.
探究条件型是指根据问题提供的残缺条件添补若干个条件,使结
论成立.解决此类问题的一般方法是:根据结论成立所需要的条件
增补条件,此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出来的条件,
不可有重复条件,也不能遗漏条件.探究结论型问题是指根据题目
所给的已知条件进行分析、推断,推导出一个与已知条件相关的结
①
②
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)因为 AC∥x 轴,所以点 C 的纵坐标为 y=4,
代入 y=x2+3x 中,得方程 x2+3x-4=0,
解得 x1=-4,x2=1(舍去).
所以点 C 的坐标为(-4,4),AC=5.
1
2
又△ABC 的高为 6,所以△ABC 的面积= ×5×6=15.
(3)存在点 D 使△ABD 的面积等于△ABC 的面积.
能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合
课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和
思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放
等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
解法二:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向二 结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结
°(n 为大于 2 的整数).
考向一
考向二
考向三
考向四
考向四 存在探索型问题
存在探索型问题是指在给定条件下,判断某种数学现象是否存在、
某个结论是否出现的问题.
2
y=
【例4】 如图,抛物线y=ax +bx(a>0)与双曲线 相交于点A,B.
已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作
能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,
使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从中选择一个):
①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解法一:FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
的北偏东30°方向,当货轮继续向北航行半小时后到达C处,发现岛
B在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?
(参考数据: 3≈1.7, 2≈1.4)
考向一
考向二
考向三
考向四
解:如图,作BD⊥AC于点D.
设BD=x,
则在 Rt△ABD 中,tan 30°=,
∴AD= 3x.
在 Rt△CBD 中,tan 45°=,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图②),N
是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还
成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你
作出猜想:当∠AMN=
时,结论AM=MN仍然成立.(直接写
出答案,不需要证明)
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,
逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,
确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例1】 如图,已知点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不
4
y=.
设点 A 的坐标为(m,n),
因为点 A 在双曲线上,所以 mn=4.
又 tan∠AOx=4,
所以 =4,即 n=4m.
由①②得 m2=1,所以 m=±1.
因为点 A 在第一象限,
所以 m=1,n=4,即点 A 的坐标为(1,4).
把点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx 中,
考向四
【例3】 (1)如图①,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上
任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若
∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择
另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
=4
所以点 D 的坐标是(3,18).
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一 条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,
逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,
确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一 条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,∴∠ACP=120°.
能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合
课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和
思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放
等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结
4 = + ,
得
解得 a=1,b=3.
-2 = 4-2,
所以抛物线的解析式为 y=x2+3x.
①
②
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)把点 B(-2,-2)的坐标代入 y= 中,
-2
得-2= ,所以 k=4.
即双曲线的解析式为
4
y=.
设点 A 的坐标为(m,n),
因为点 A 在双曲线上,所以 mn=4.
理由:过点 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D.
因为直线 AB 所对应的一次函数是 y=2x+2,
且点 C 的坐标为(-4,4),CD∥AB,
所以直线 CD 对应的一次函数是 y=2x+12.
= 2 + 3,
解方程组
= 2 + 12,
= 3,
= -4,
得
或
(舍去).
= 18
∴CD=x,∴AC=AD-CD= 3x-x.
1
∵AC=30×2=15,∴ 3x-x=15,∴x≈21.4.
∵21.4>15,
故货轮没有触礁的危险.
答:货轮没有触礁的危险
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
论,并且将符合条件的结论一一罗列出来,或者对相应的结论的
“存在性”加以推断,甚至探究条件变化时的结论,这些问题都是
结论开放型问题.解决此类问题要求利用条件大胆而合理地猜想,
发现规律,得出结论.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例2】 如图,海中有一小岛B,它的周围15海里内有暗礁.有一货
轮以30海里/时的速度向正北航行,当它航行到A处时,发现岛B在它
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
又 tan∠AOx=4,
所以 =4,即 n=4m.
由①②得 m2=1,所以 m=±1.
因为点 A 在第一象限,
所以 m=1,n=4,即点 A 的坐标为(1,4).
把点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx 中,
4 = + ,
得
解得 a=1,b=3.
-2 = 4-2,
所以抛物线的解析式为 y=x2+3x.
专题三
开放探究题
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的
结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与
否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自
编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础
知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的
论.解决此类问题的关键是对已知的条件进行综合推理,导出新的
结论.探究结论存在型问题的解法一般是先假定存在,然后结合现
有的条件进行推理,最后推导出问题的解或矛盾再加以说明.归纳
探究型问题是指给出一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由
特殊猜测一般的结论或规律,解决此类问题的一般方法是对由特殊
得到的结论进行合理猜想,并进行验证.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
∴∠AEM=∠MCN=120°.
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠BAM(∠B=∠AMN=60°),
∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN.
(3)
180(-2)
论存在与否型及归纳探究型四种.
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的
结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与
否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自
编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础
知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
直线AC∥x轴,交抛物线于点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式.
(2)计算△ABC的面积.
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?
若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)把点 B(-2,-2)的坐标代入 y= 中,
-2
得-2= ,所以 k=4.
论存在与否型及归纳探究型四种.
探究条件型是指根据问题提供的残缺条件添补若干个条件,使结
论成立.解决此类问题的一般方法是:根据结论成立所需要的条件
增补条件,此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出来的条件,
不可有重复条件,也不能遗漏条件.探究结论型问题是指根据题目
所给的已知条件进行分析、推断,推导出一个与已知条件相关的结
①
②
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)因为 AC∥x 轴,所以点 C 的纵坐标为 y=4,
代入 y=x2+3x 中,得方程 x2+3x-4=0,
解得 x1=-4,x2=1(舍去).
所以点 C 的坐标为(-4,4),AC=5.
1
2
又△ABC 的高为 6,所以△ABC 的面积= ×5×6=15.
(3)存在点 D 使△ABD 的面积等于△ABC 的面积.
能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合
课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和
思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放
等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没
有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学
生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一
思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
解法二:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向二 结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结
°(n 为大于 2 的整数).
考向一
考向二
考向三
考向四
考向四 存在探索型问题
存在探索型问题是指在给定条件下,判断某种数学现象是否存在、
某个结论是否出现的问题.
2
y=
【例4】 如图,抛物线y=ax +bx(a>0)与双曲线 相交于点A,B.
已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作
能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,
使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从中选择一个):
①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解法一:FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
的北偏东30°方向,当货轮继续向北航行半小时后到达C处,发现岛
B在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?
(参考数据: 3≈1.7, 2≈1.4)
考向一
考向二
考向三
考向四
解:如图,作BD⊥AC于点D.
设BD=x,
则在 Rt△ABD 中,tan 30°=,
∴AD= 3x.
在 Rt△CBD 中,tan 45°=,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图②),N
是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还
成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你
作出猜想:当∠AMN=
时,结论AM=MN仍然成立.(直接写
出答案,不需要证明)
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,
逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,
确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例1】 如图,已知点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不