2018-2019学年高中数学 模块综合检测(含解析)北师大版选修2-2

模块综合检测
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2
在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限
解析：选D
z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12在第四象限．
2．函数y ＝(sin x 2)3
的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2
·sin 2x 2
B.y ′＝3(sin x 2)2
C ．y ′＝3(sin x 2)2
cos x 2
D ．y ′＝6sin x 2
cos x 2
解析：选 A y ′＝[(sin x 2)3
]′＝3(sin x 2)2
·(sin x 2
)′＝3(sin x 2)2
·cos x 2
·2x ＝3×2sin x 2
·cos x 2
·x ·sin x 2
＝3x ·sin x 2
·sin 2x 2
，故选A.
3．复数a ＋i
1－i
为纯虚数，则它的共轭复数是( )
A ．2i B.－2i C ．i
D ．－i
解析：选D ∵复数a ＋i
1－i
＝
a ＋
＋－＋
＝
a －1＋
＋a
2
为纯虚数，∴
a －1
2
＝0，
1＋a
2
≠0，解得a ＝1. ∴
a ＋i
1－i
＝i ，则它的共轭复数是－i.
4. ⎠⎛0 2π
|sin x |d x ＝( ) A ．0 B.1 C ．2
D ．4
解析：选 D ⎠⎛02π
|sin x |d x ＝⎠⎛0π
sin x d x ＋⎠⎛π2π
(－sin x )d x ＝－cos x ⎪⎪
⎪0
π
＋cos x 0＝1＋1＋1＋1＝4.
5．已知x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋
3x 2
n ＋1
(n ∈N ＋)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都
满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1
C ．存在正整数n (n ≥2)，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1
D ．存在正整数n (n ≥2)，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0
解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.
6．观察下列等式，13
＋23
＝32,13
＋23
＋33
＝62,13
＋23
＋33
＋43
＝102
，根据上述规律，13
＋23
＋33
＋43
＋53
＋63
＝( )
A ．192
B.202
C ．212
D ．222
解析：选C 归纳得13
＋23
＋33
＋43
＋53
＋63
＝()1＋2＋…＋62
＝212
.
7．设m ＝⎠⎛01
e x d x ，n ＝⎠⎛01
1x d x ，则m 与n 的大小关系为( )
A ．m ＜n B.m ≤n C ．m ＞n
D ．m ≥n
解析：选C m ＝⎠⎛01
e x d x ＝e x ⎪⎪
⎪
1
＝e －1＞n ＝⎠⎛1e
1x
d x ＝ln x ⎪⎪
⎪
e
1
＝1.
8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2
＋32bx ＋c 3的单调递增区间是
( )
A ．(－∞，－2]
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞
C ．[－2,3] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫98，＋∞
解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2
＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，
∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2
－94
x
－6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫98，＋∞.故选D.
9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2
g (x )的部分图像可以为( )
解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2
g (x )＝x 2
cos x 为偶函数．又x ＝0时，
y ＝0，故选C.
10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2
f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B.f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)
D ．不确定
解析：选B 因为f (x )＝x 2
f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2
－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).
11．若不等式2x ln x ≥－x 2
＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0) B.(－∞，4] C ．(0，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析：选B 由2x ln x ≥－x 2
＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋
3x
(x ＞0)，则h ′(x )＝
x ＋
x －
x
2
.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．
12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1 f (x 2)与e x 2 f (x 1)的大小关系为( )
A ．e x 1 f (x 2)＞e x 2 f (x 1)
B ．e x 1 f (x 2)＜e x 2 (x 1)
C ．e x 1 f (x 2)＝e x 2 f (x 1)
D ．e x 1 f (x 2)与e x 2 f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝
f x
e
x
，则g ′(x )＝
f x
x
－f x
x
x
2
＝
f x －f x
e
x
，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，
即
f x 1e x 1 ＜f x 2
e x 2
，所以e x 1 f (x 2)＞e x 2 f (x 1)． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z －
＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2，∴z ＝2
1＋i ＝
－
2
＝1－i ，∴z －
＝1＋i.
答案：1＋i
14．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若
f ′(1)＝3，则a 的值为________．
解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．
由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：3
15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2
，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．
解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则
y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)
＝－p 3
－150p 2
＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2
－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：
故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．
又y ＝－p 3
－150p 2
＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
答案：30 23 000
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则
a 2 018＝________.
解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝
n ＋
＋n ＋
2
＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝1
2
×2 019×2 022＝2 019×1 011.
答案：2 019×1 011
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z ＝
－
2
＋＋
2－i
.
(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2
＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数． 解：由已知得复数z ＝－
2
＋＋
2－i
＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝
＋
＋－＋
＝5＋5i 5
＝1＋i.
(1)复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.
(2)因为z 2
＋az ＋b ＝1－i ， 所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，
因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝4，
所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e
x ＋2
(x 2
－3)．
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2
(x 2
－3)，
则f ′(x )＝e
x ＋2
(x 2
＋2x －3)＝e
x ＋2
(x ＋3)(x －1)，
故f ′(0)＝－3e 2
，又f (0)＝－3e 2
，
故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2
＝－3e 2
(x －0)，即3e 2
x ＋y ＋3e 2
＝0.
(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
∴当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝6
e ，当x ＝1时，函数取极小值，极
小值为f (1)＝－2e 3
.
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝
1
x ＋2
，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤2
3
；
(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于1
2
.
证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤2
3
，
只需证明
1
a b ＋2＋
1
b a ＋2
≤2
3， 只需证明
b
a ＋2
b ＋
a
b ＋2a ≤23
，
即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23
，
即证3b 2
＋12ab ＋3a 2
≤4a 2
＋10ab ＋4b 2
. 即证(a －b )2
≥0，这显然成立，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23
. (2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤1
2，
∴2a ≤b ＋2,2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，
∴af (b )，bf (a )中至少有一个大于1
2
.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2
－m ln x ，h (x )＝x 2
－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤
x
ln x
在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x
，则g ′(x )＝
ln x －1
x
2
，
当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，
所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.
所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2
x
，
当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.
即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．
21．(本小题满分12分)函数f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋m (m ∈R)． (1)求f (x )的极值；
(2)当m 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有三个不同的交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2
－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1
3
或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以当x ＝－3时，f (x )取得极大值，为27
＋m ，当x ＝1时，f (x )取得极小值，为m －1.
(2)画出f (x )和y ＝1的大致图像如图．
由图像可以看出，要使曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有三个不同的交点， 则527＋m >1，m －1<1，所以22
27
<m <2， 所以满足条件的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2227，2.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2
－ax ＋ln(x ＋1)(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值点；
(2)若函数f (x )在区间(0,1)上恒有f ′(x )>x ，求实数a 的取值范围；
(3)已知a <1，c 1>0，且c n ＋1＝f ′(c n )(n ＝1,2，…)，证明数列{c n }是单调递增数列． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2
－2x ＋ln(x ＋1)， f ′(x )＝2x －2＋1x ＋1＝2x 2
－1
x ＋1.
令f ′(x )＝0，得x ＝±22
. 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1，－22时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
－22，22时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴函数f (x )的极大值点为x ＝－2
2
， 极小值点为x ＝
22
. (2)∵f ′(x )＝2x －a ＋1
x ＋1
， 由f ′(x )>x ， 得2x －a ＋1
x ＋1
>x ， 所以a <x ＋1
x ＋1
(0<x <1)恒成立， 又x ＋
1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1
－1>1， ∴a ≤1.
故所求实数a 的取值范围为(－∞，1]． (3)证明：(用数学归纳法证明) ①当n ＝1时，c 2＝f ′(c 1)＝2c 1－a ＋1
c 1＋1
， ∵c 1>0，∴c 1＋1>1，又a <1， ∴c 2－c 1＝c 1－a ＋
1c 1＋1＝c 1＋1＋1
c 1＋1
－(a ＋1)>2－(a ＋1)＝1－a >0， ∴c 2>c 1，即当n ＝1时结论成立．
②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立， 即c k ＋1>c k >0， 当n ＝k ＋1时，
c k ＋2－c k ＋1＝c k ＋1－a ＋1c k ＋1＋1＝c k ＋1＋1＋1
c k ＋1＋1
－(a ＋1)>2－(a ＋1)＝1－a >0.
∴c k ＋2>c k ＋1，
即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知数列{c n }是单调递增数列．。