2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换

2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换
知识讲解
一、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=;
3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=
2.二倍角公式
1）sin22sin cos ααα=;变形式
1
sin cos sin 22αα
α．
2）2222
cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;
变形式
2cos21cos 2
α
α
；
21cos2sin 2
x
α
． 3）22tan tan 21tan α
αα
=
-．
3.辅助角公式
()222222
22
sin cos (
sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++
=++++，
其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan b
a
ϕ=
确定． 4.化简中常用1的技巧
“1”的代换2
2
1sin cos α
α；2
1
2cos cos2α
α，2
1
cos2sin α
α，
1tan
4π
．
经典例题
一．选择题（共15小题）
1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π
4
B ．π
2
C ．3π4
D ．π
2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π
4
B ．π
2
C ．3π4
D ．π
3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13
，则cos2α=（ ）
A ．89
B ．7
9
C ．﹣79
D ．﹣8
9
4．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π
4
)=（ ）
A ．1
B ．1﹣cos2x
C ．1+cos2x
D ．1+sin2x
5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π
4)=2，则tan2α=（ ）
A．﹣3B．3
C．−3
4D．
3
4
6．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=4
3
，则cos2(π4−α)=（）
A．1
9
B．
2
9
C．4
9
D．
5
9
7．（2018•佛山一模）已知tanθ+
1
tanθ=4，则cos
2(θ+π
4)=（）
A．1
2
B．
1
3
C．1
4
D．
1
5
8．（2018•开封三模）已知sin（π
4
+α）=
3
5
，则sin（3π
4
−α）=（）
A．4
5
B．−
4
5
C．3
5
D．−
3
5
9．（2018•全国一模）已知s in(π
3−a)=
1
3
，则cos(5π6−a)=（）
A．1
3
B．−
1
3
C．2√2
3
D．−√
2
3
10．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=1
3
，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，
π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√5
9
B ．4√2+√59
C ．−4√2+√59
D ．−4√2−√59
11．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）
A ．﹣1
B ．−12
C ．12
D ．√22
12．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π
4)，且tanα=1+sin2βcos2β
，则下列
结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π
4
B ．2α+β=π
4
C ．α﹣β=π
4
D ．α+β=π
4
13．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π
4] B ．[π
4，π] C ．[0，3π
4]
D ．[3π
4，π]
14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ
=3cos(2π+θ)，|θ|＜π
2，则sin2θ=（ ）
A ．8√2
9
B ．2√23
C ．4√29
D ．
2√29
15．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2
=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →
，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形
D ．钝角三角形
二．填空题（共7小题）
16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．
17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．
18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=3
2，则cos2α+cos2β的取值范围
是 ．
19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16
．则tanα= ．
20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．
21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12
）= ．
22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．
三．解答题（共5小题）
23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π
2
）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin （2α﹣π
3
）的值．
24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π
4
）+2cos 2（ax
﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2
． （Ⅱ）求a 的值；
（Ⅱ）求f （x ）在[0，π
4
]上的最大值和最小值．
25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，
π）．若AC →
⋅BC →
=25
，求
（1）cosα+sinα的值；
（2）sin(α+π
6)的值．
26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA ）（1﹣tanB ）=2． （1）求角C ；
（2）若b=2√2，c=4，求△ABC 的面积S △AB C ．
27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π
4−x)cos(
π
4−x)+√3sin2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。