理论力学1A全本课件7章刚体的平面运动ppt课件教案

(） (）
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
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运动为圆周运动的合成 va vB;ve vA;vr vBA,
vAB 大小 AB,方向 AB, 指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
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即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
aB aA aBA aBAn
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aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方向AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
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[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
大小？ √ ？ √
方向√ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 aB cos 30 0 0 aBAn
aB
aBA
n
/c
os30
20 3
3 2 /
3 2
340 2 131.5cm/s2 ()
研究轮B：P2为其速度瞬心
B vB /BP2 20 3 /157.25rad/s B aB /BP2 131 .5/158.77rad/s2
三．瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念
平面图形S，某瞬时其上一点A速度vA , 图形角速度，沿vA 方向取半直线AL, 然后
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分析: 要想求出滚轮的Ｂ, Ｂ 先要求出vB, aB
解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
P1
研究AB：
n /30 60 /30 2 rad/s
vA OA 152 30 cm/s
P１为其速度瞬心
P2为轮速度瞬心
AB vA/ AP1 30 /315 23 rad/s
第7章 刚体的平面运动
§7–1 刚体平面运动的分解 §7–2 平面运动的速度分析 §7–3 平面运动的加速度分析
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§7-1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述 两种基本运动．然后应用合成运动理论，推导出平面运动刚体 上一点的速度和加速度的计算公式． 一．平面运动的定义
车轮对于静系的平面运动
车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（绝对运动） （牵连运动） （相对运动）
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我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以
分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保 持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一 平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
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例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动．
的方向，且 vA 不平行 vB
过A , B两点分别作速度 vA ,vB 的垂线,交
点 P即为该瞬间的速度瞬心.
④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 vA , vB
大小,且 vAAB, vBAB
(a)
vA 与vB 同向,
vA vB
AB
(b)
vA 与vB 反向,
vA vB
AB
(a)
(b)
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在该瞬时的位置也就确定了。
四．平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动 当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
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例如 车轮的运动．
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平动和相对 车厢的转动的合成．
研究 AB，以 A为基点，且vA l , 方向如图示。
根据 vB vA vBA,
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
vB vA /cos l/cos45 2l()
vBA vAtg ltg45 l AB vBA/ ABl /l （ ）
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速度投影法 研究AB, vA l , 方向OA, vB方向沿BO直线
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动 平面运动的分解
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§7-2 平面运动的速度分析
一．基点法（合成法）
已知：图形S内一点A的速度 vA ，
图形角速度 求：vB
取A为基点, 将动系固结于
A点,动系作平动。
大小 AB,方向 AB
取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对
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二．平面运动的简化 刚体的平面运动可以
简化为平面图形S在其自 身平面内的运动．即在研 究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需 研究平面图形的运动，确 定平面图形上各点的速度 和加速度．
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三．平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定
平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位
置决定于 xA, yA , 三个
独立的参变量．所以
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xA f1(t)
平面运动方程 yA f2 (t) f3 (t )
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的xA, yA , ， 图形S
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§7-3 平面运动的加速度分析
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 aA 和图形
的 , （某一瞬时）。
求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系固结于A点 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动． aa aB ; ae aA ; ar aBA aBA aBAn 于是,由牵连平动时加速度合成定理 aa ae ar 可得如下公式．
二．速度投影法
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
上投影，有
vB AB vA AB —速度投影定理
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
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顺 的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长
度 AP vA / 则： vP vA vPA
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向. 所以
vP 0
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即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．
３．几种确定速度瞬心位置的方法
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vA vB cos vB vA求出 AB
速度瞬心法
研究AB，已知 vA , vB的方向，因此
可确定出P点为速度瞬心
v A l,APl AB v A / APl /l （ ）
vB BP AB 2l () 试比较上述三种方法的特点。
上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求
出其余两个。由于
aBA ,
a
n BA
方位总是已知，所以在使用该公式
中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。
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[例1] 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm
求：当 =60º时 (OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．
①已知图形上一点的速度vA 和图形角速度，
可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP vA ,
APvA ,且Ｐ在vA
顺转向绕A点
转90º的方向一侧．
②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚
动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心
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③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 vA ,vB
（）
vB BP1AB 2 31523 20 3 cm/s()
vB P2
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取A为基点， aA OA 2 15(2 )2 60 2cm/s 2 指向O点
aB aA aBA aBAn (aBAn AB AB2
3 15 (2 )2 20 3 2,沿BA) 33
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直．
此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各
点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不相) 另：对 种(a)的情况，若vA＝vB，
则是瞬时平动．
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４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
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再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转1 角到A'B'
以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
lim
t0
1 t
lim
t0
2 t
,1 2
;
d1
dt
d2
dt
,1
2
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所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择 有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一
瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选
取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)
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平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转 动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度
vA AP 方向AP，指向与 一致。
５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动