2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线应用案巩固提升新人教B版选修2_1

2.5 直线与圆锥曲线
[A 基础达标]
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：选A ．因为y ＝kx －k ＋1，所以y －1＝k (x －1)，过定点(1，1)，定点在椭圆x 2
9
＋
y 2
4
＝1内部，故选A ．
2．椭圆x 24＋y 2
3＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )
A ．12
B ．
32
C ．1
D ． 3
解析：选B ．椭圆的右焦点为F (1，0)， 所以d ＝
33＋1
＝
32
. 3．抛物线y 2
＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A ．15 B ．215 C ．
152
D ．15
解析：选A ．令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 由⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝2x ＋1y 2
＝12x
得4x 2
－8x ＋1＝0，
所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14
，
所以|AB |＝(1＋22
)(x 1－x 2)2
＝5[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝15.
4．椭圆ax 2
＋by 2
＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
32，则a
b 的值为( ) A ．
3
2
B ．233
C ．932
D ．2327
解析：选A ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则ax 21＋by 21＝1，ax 2
2＋
by 22＝1，两式相减得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 2
2)，即a b ＝－
(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 0x 0＝32
. 5．椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜率为
22，则m
n
的值为( ) A ．
2
2
B ．23
3
C ．1
D ．2
解析：选A ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则mx 2
1＋ny 2
1＝1，mx 2
2＋ny 2
2＝1，两式相减得mx 2
1－
mx 22＋ny 21－ny 2
2＝0，
即m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)， 所以
x 1－x 2y 1－y 2＝－n m ·y 1＋y 2
x 1＋x 2
＝－1，① 又
y 1＋y 2x 1＋x 2＝2
2
，② 由①②得m n
＝
22
. 6．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
解析：由题意可设椭圆方程x 2a 2＋y 2
a 2－4
＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7.
故椭圆的长轴长为2a ＝27.
答案：27
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，则过它的焦点且垂直于x 轴的弦长为________．
解析：设一个焦点为F (c ，0)，其中c 2
＝a 2
＋b 2
，过F 且垂直于x 轴的弦为AB ， 则A (c ，y 0)，
因为A (c ，y 0)在双曲线上，
所以c 2a 2－y 20
b
2＝1.
所以y 0＝±b
c 2a 2－1＝±b 2a
. 所以|AB |＝2|y 0|＝2b
2
a
.
答案：2b 2
a
8．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →
，则p ＝________．
解析：过B 作BE 垂直于准线l 于E ， 因为AM →＝MB →， 所以M 为AB 的中点，
所以|BM |＝1
2|AB |，又斜率为3，∠BAE ＝30°，
所以|BE |＝1
2|AB |，
所以|BM |＝|BE |， 所以M 为抛物线的焦点， 所以p ＝2. 答案：2
9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (3，0)，实轴长为2，经过点
M (2，1)作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点．
(1)求双曲线C 的方程； (2)求直线l 的方程．
解：(1)由已知，得2a ＝2，c ＝3， 所以a ＝1，b 2
＝c 2
－a 2
＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2
－y 2
2
＝1.
(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为
y －1＝k (x －2)，即y ＝kx ＋1－2k .把y ＝kx ＋1－2k 代入双曲线C 的方程x 2
－y 2
2
＝1，得(2
－k 2
)x 2
－2k (1－2k )x －(1－2k )2
－2＝0，①
由题意可知2－k 2
≠0， 所以x M ＝
x 1＋x 22＝k (1－2k )
2－k
2＝2， 解得k ＝4.
当k ＝4时，方程①可化为14x 2
－56x ＋51＝0.
此时Δ＝562
－56×51＝280>0，方程①有两个不等的实数解．所以直线l 的方程为y ＝4x －7.
10．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C
相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆C 的方程．
解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b
2＝1，
得(3a 2
＋b 2
)y 2
＋43b 2
y －3b 4
＝0.
解得y 1＝－3b 2
(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2
(2－2a )
3a 2＋b 2
. 因为AF 2→＝2F 2B →
，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2
(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2
(2－2a )3a 2＋b 2
. 得a ＝3.而a 2
－b 2
＝4， 所以b ＝ 5.
故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1.
[B 能力提升]
11．已知椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y ＝
4x ＋m ，椭圆C 上有不同的两点关于直线l 对称．
解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，M (x ，y )
是它们的中点，则有⎩
⎪⎨⎪⎧3x 2
1＋4y 2
1＝12，
3x 22＋4y 2
2＝12. 所以3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x 1≠x 2， 所以3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ ＝1
4
，所以y ＝3x .
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，
得M (－m ，－3m )． 因为点M 在椭圆C 的内部，
所以(－m )24＋(－3m )2
3<1，所以－21313<m <21313
.
所以当－21313<m <213
13时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．
12．一条斜率为1的直线l 与离心率为22的椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a >b >0)交于P 、Q 两点，
直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →
，求直线l 和椭圆C 的方程．
解：因为椭圆离心率为
22
， 所以c a ＝
22
，a 2＝2b 2＝2c 2
， 所以椭圆方程为x 22b 2＋y 2
b
2＝1.
设l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2
b 2＝1，y ＝x ＋m ，
消去y 得3x 2
＋4mx ＋2m 2
－2b 2
＝0.
Δ＝16m 2－4×3(2m 2－2b 2)＝8(－m 2＋3b 2)>0，
所以3b 2
>m 2
.(*)
x 1＋x 2＝－43
m ，① x 1x 2＝2
3
(m 2－b 2)，②
OP →
·OQ →
＝－3，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3.
而y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2
， 所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2
＝－3， 43(m 2－b 2)－43m 2＋m 2
＝－3， 所以3m 2
－4b 2
＝－9，③ 又R (0，m )，PR →＝3RQ →，
即(－x 1，m －y 1)＝3(x 2，y 2－m )， 从而－x 1＝3x 2，④ 由①②④得3m 2
＝b 2
，⑤
由③⑤解得b 2＝3，m ＝±1，适合(*)，
所以所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝x －1；椭圆C 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
13．(选做题)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点．
(1)求C 的方程；
(2)若点B (1，－2)在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点．
解：(1)当焦点在x 轴时，设C 的方程为y 2
＝2px ，代入点A (1，2)得2p ＝4，即y 2
＝4x . 当焦点在y 轴时，设C 的方程为x 2＝2py ，代入点A (1，2)得2p ＝12，即x 2
＝12y .
综上可知，C 的方程为y 2＝4x 或x 2
＝12y .
(2)证明：因为点B (1，－2)在C 上， 所以曲线C 的方程为y 2
＝4x . 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 直线PQ ：x ＝my ＋b ，
显然m 存在，联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，
x ＝my ＋b ，
得y 2
－4my －4b ＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4b . 因为k BP ·k BQ ＝－2， 所以y 1＋2x 1－1·y 2＋2
x 2－1
＝－2， 所以
4y 1－2·4y 2－2
＝－2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋12＝0， 所以－4b －8m ＋12＝0， 即b ＝3－2m .
直线PQ ：x ＝my ＋b ＝my ＋3－2m ， 即x －3＝m (y －2)， 所以直线PQ 过定点(3，2)．。