讲学稿--(1)

蚌埠三中教育集团行知实验学校八数（下）讲学稿8sx01
16.1二次根式（1）
主备人：周翔审核人：汤张侠使用时间：2014年月日
＿＿＿年级＿＿＿班姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
1．理解二次根式的概念和基本性质。

2．经历观察，比较，总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。

3．经历观察，比较，总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

学习重点：二次根式的概念和性质。

学习难点：根式的基本性质的灵活运用。

学法指导：自主预习，课堂小组合作探究。

一、学前准备：
1.____________________________叫平方根；
_________________________________叫算术平方根。

2．平方根的性质有以下几个内容：
(1)正数的平方根有__________个，且__________。

(2)负数__________平方根(3)0的平方根是___________。

3. 绝对值的性质有以下几个内容：
(1) 正数的绝对值是_______________;
(2) 负数的绝对值是_________; (3) 0的绝对值是_______________.
二、探究活动
（一）独立思考·解决问题
1．已知一个正方形的面积是（b-3）2
cm,则这个正方形的边长是：
_____________。

2．已知一个圆的面积是162
cm，则它的半径是______________。

（二）师生探究·合作交流
议一议：
1. 代数式有哪些共同点的特点呢？你知道什么是二次根式了吗？
2．结合上面的特点你能判断一个式子是不是二次根式了吗？
3．下面各式是二次根式吗？（填“是”或“否”）
2
3
2
8()(4)(()21()
1
21()()()2()
2
a a
a a a a
- ) 25 ++
- < +
变式训练: x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
32
(1)23(2)(3)
211
x
x x
+ ; ;
--
（三）小组互动·发现规律
1．我们知道，2是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有2
(2)=2，类似
地，计算：
222
7
(5)____,()____,0)_____
5
= = (=
则，一般地，有性质1: 2
()___(0).
a a
= ≥
2．22393,(3)93== -==，类似地，计算：
222227
()___,(0.5)____,____5
7
()___,(0.5)____,(10)___5
2= = 0=-= -= -=
则，一般地，有性质2: 2____a ⎧
== ⎨⎩
练一练：
1．计算
223(1)(
);(3)(35);(4)9;(5)(4);(6)2562227
; (2) () - 2
2．已知230x y x +-+-=，求x 和y 的值。

3．在实数范围内分解因式：
224322(1)2;(2)54;(3)4;(4)5x a x a b ab - - - -
（四）自我检测
1．用代数式表示：
（1）面积是S 的圆，它的半径r=______________;
（2）正方形的面积是28x ，它的周长C=___________；
2．如果2x -是二次根式，则x 的取值范围是_________。

3．当m 满足_______时，式子
34
m
m -+有意义。

4．计算：（1）2
2()7
=________; (2) 2(86)-=_______; (3) 2(33)-=________； (4)
2( 3.1416)π-=_________；
5． 2(5)-的平方根是（ ）
A ．5 B. ±5 C. －5 D. 不存在
6．若22()a a =，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≧0 B. a ≠0 C. a ≦0 D. 任意实数 三、应用与拓展
的平方根，求若y x y x -=++-406312.1。

的立方根，求若y x y x x +=+-+-462112.2。

学生收获：（什么公式？什么方法？） 学生表现： 家长签字：
蚌埠三中教育集团行知实验学校八数（下）讲学稿8sx02
16.1二次根式（2）
主备人：周翔审核人：汤张侠使用时间：2014年月日
＿＿＿年级＿＿＿班姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
1．熟练应用二次根式的基本性质。

2．通过对二次根式的概念和性质的应用，提高数学研究能力和应用能力。

3．经历观察，比较，总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

学习重点：二次根式的概念和性质。

学习难点：二次根式的基本性质的灵活运用。

学法指导：自主阅读，小组合作探究。

一、学前准备
1．二次根式的定义：___________________________________。

2．二次根式的性质：___________________________________。

3．2222
2_____2______
a a
b b a ab b
++= -+=
二、探究活动
（一）知识互动
知识点一：二次根式的性质
二次根式的性质：（1）二次根式a是一个非负数；（2）2
()(0)
a a a
= ≥，二次根式(0)
a a
≥的实质是非负数a 的算术平方根，因此a是一个非负数，而2
()(0)
a a a
= ≥是逆用算术平方根定义得出的结论。

1
知识点二：公式2
()(0)
a a a
= ≥的应用
公式2
()(0)
a a a
= ≥可以正用，也可以逆用，正用可以去掉根号，将式子化简，逆用可以把一个非负数写成完全平方的形式。

知识点三：二次根式2a的化简
2
(0)
||
(0)
a a
a a
a a
≥
⎧
==
⎨
-<
⎩
由于化简形如2a的二次根式比较复杂，其结果等于a本身还是等于a的相反数，要由a的符号决定，因此将根号内的完全平方式开出根号时，一般先加上绝对值符号，然后再根据a的符号进一步化简，这里用|a|进行过渡，可以避免发生错误。

（二）例题评析
例1：在实数范围内分解因式
2
(1)214;(2)с4
a4
- -
例2：化简
222222
11
(1)169();(2)()4(01);
3(3)691025(35);(4)(32)(31)x x x x x x a a a a a -+ > +- << +++-+ -<< -+-
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例3 已知a ，y 均为实数，且满足等式||33||12
3
a a y a -+-+=
-，试求2011y 的个
位数字。

（三）自我测试
1.下列式子中是二次根式的有： （ ）
31； 3-； 12+-x ； 38； 23
1
)(-； )(11>-x x ； 322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2.当
2
2-+a a 有意义时，a 的取值范围是： （ ）
A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2
3．若x<0，则2
x x x
-的结果是： （ ）
A ．0 B. -2 C. 0或-2 D. 2
4. 若22(21)(21)x x +=+则x 的值为： （ ）
A. =
12x B. =-12x C. ≥-1
2
x D. x 为任意实数 5．在实数范围内分解因式：
- - -+2442(1)7;(2)25;(3)44x x x x
三、应用与拓展
1.化简：-+-22(3)(4)x x
2．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简
-+-
-+22
1444164
c c c c
学生收获：（什么公式？什么方法？） 学生表现： 家长签字：
蚌埠三中教育集团行知实验学校八数（下）讲学稿8sx03
16.2二次根式的运算（1）
主备人：周翔审核人：汤张侠使用时间：2014年月日
＿＿＿年级＿＿＿班姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
1.能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。

2.会进行简单的二次根式的乘法运算。

3.让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的。

4.培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。

学习重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，进行简单的二次根式的乘法运算。

学习难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。

学法指导：独立自学，合作探究。

一、学前准备
1.算术平方根的定义_____________________________________。

2．二次根式的两个基本性质：_____________________________。

3．完成下列计算：
1
4____,25____,100_________,0.25____
16
= = = = =
二、探究活动
（一）独立思考，解决问题
观察：计算下列各题，观察有何规律？(1)425_____,425_____;
1
(2)9_____,9_____;
16
(3)0.25100____,0.25100____;
⨯= ⨯=
1
⨯= ⨯=
16
⨯= ⨯=
猜想：当a≥0,b≥0,有a·b=____________________.（二）师生探究·合作交流
性质3：如果a≥0,b≥0,有a·b=_________________; 用语言叙述为：____________________________________; 你能证明这个性质吗？
由等式对称性，性质3也可写成ab=a·b(a≥0,b≥0)
例1：计算：
(1)221;(2)312;
⨯ ⨯
例2：化简：
23
(1)1681;(2)4(0,0);
a b a b
⨯ ≥≥
(三) 自我检测
1．化简：
34249121;(2)64;(3)8;(1)xy z y ⨯
2．一个矩形的长和宽分别是10cm 和22cm ，求这个矩形的面积。

三、应用与拓展
1．观察下式及其变形过程：
2
222(21)2
2223
3
21
3
2
-+ ===
+
3
- （1） 按上述等式及其验证过程的基本思路，猜想3
8
3的变形结果并进行验证；
（2） 针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为自然数，n ≥2）表示的等式并
证明；
（3） 仿照上面的规律，写出用n 表示下列各式的规律
2233
2,33,5
510
10
2
=-
=-
⋅⋅⋅（不要求证明）
2、先阅读，再解答：
有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m,n ，使22m n a +=，且b mn =
，则将2b a ±变成222n mn m +±，即变成2()m n ±，从而使得
2a b ±化简，例如
22263226(3)(2)232(32)52=+±=+±⨯⨯=±±，所以
2
526(32)32
±=
±
=± 请仿照上例解答下列问题：
743;(2)7210.(1)+ -
学生收获：（什么公式？什么方法？） 学生表现： 家长签字：
蚌埠三中教育集团行知实验学校 八数（下）讲学稿8sx04
16.2二次根式的运算（2）
主备人：周翔 审核人：汤张侠 使用时间：2014年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
1．会进行简单的二次根式的除法运算。

2．能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。

3．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式。

4．引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题。

学习重点：
会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算。

学习难点：
会进行二次根式的除法运算和最简二次根式的运用。

学法指导：类比上节课利用的规律，自我探究，合作讨论。

一、学前准备
1.二次根式的乘法法则是：_______________________________.
2.乘法和除法互为__________.
3.
(32)(32)___,(2519)(________)1
()()_____
a b a b +-= +-=+
-=
二、探究活动 探究一：
1．计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？
9
91616
(1)_____,_____;(2)____,____16361636
= = = =
规律：991616
________1636
16
36
; 2．总结二次根式的除法法则：
_____(0,0)a a b b
=≥>
反过来得到，商的算术平方根的性质：_____(0,0)a
a b b
=≥> 探究二：
问题：观察上面例2中各小题的最后结果，例如3222,
,10a a
，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？
通过分析可以得到，二次根式有如下两个特点： （1） 被开放数的因数是_____,因式是_____; （2） 被开方数中不能含开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时应注意：（1）有时需将被开方数分解因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化。

巩固练习：1.化简: 90.04144
(1)
;(2);640.49169
⨯ ⨯
2.计算：236
8.4
5
52(1)
;(2);(3);(4)36630.12
3x y
xy
÷
（二）自我测试新课标第一网
1．把2
27
化成最简二次根式，结果为： （ ）
A ．
233
B ．
29
C ．
69
D ．
39
2．下列根式中，最简二次根式为： （ ） A ．4x B ．x 24- C ．
x
4
D ．()x +42
3．已知t <1，化简1212---+t t t 得： （ ） A ．22-t
B ．2t
C ．2
D ．0
4．把ab
a 123分母有理化后得 ： （ ）
A ．4b
B ．b 2
C ．b 2
1 D ．
b b
2 5．y b x a +的有理化因式是 ： （ ） A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 6．
218b
a a b
⋅=__________；222524-=________ 7．计算：35210a b ⋅=___________．
8．计算：
22
16b c
a
=_____________．
9．当a=3时，则215a +=____________． 10．若
2
2
33x x x
x
--=--成立，则x 满足__________．
三、应用与拓展
1．请认真阅读下列化简过程。

22221212121
212121(21)(21)(2)11535353
53
532
53(53)(53)(5)(3)
---====--++--++++====---+-按照上面两个根式化简的方法，将
12
313223
-+和分母中的根号化去；
学生收获：（什么公式？什么方法？） 学生表现： 家长签字：。