《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第九章解析几何题组54 Word版含解析

题组层级快练(五十四)
1．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
答案 C
解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．
2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－
15
3
，0) D ．(－
15
3
，－1) 答案 D
3．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率
为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) A ．k 2－e 2>1 B ．k 2－e 2<1 C ．e 2－k 2>1 D ．e 2－k 2<1
答案 C
解析 由双曲线的图像和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a <k<b a ，即k 2<b 2
a
2＝c 2－a 2a
2＝e 2
－1.
4．已知F 1，F 2是双曲线x 22－y 2
＝1的左、右焦点，P ，Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且
倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ|的值为( ) A ．8 B ．2 2
C ．4 2
D ．随α的大小而变化
答案 C
解析 由双曲线定义知：
|PF 1|＋|QF 1|－|PQ|＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＝4a ＝4 2. 5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线
PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝2
3，则该双曲线的离心率为( )
A.22
B.62
C. 2
D.
153
答案 D
解析 设A(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)，根据对称性，B(－x 1，－y 1)， 因为A ，P 在双曲线上， 所以⎩
⎨⎧x 12a 2－y 12
b 2
＝1，x 22a 2－y 22
b 2
＝1.
两式相减，得k PA ·k PB ＝b 2a 2＝2
3.
所以e 2
＝a 2＋b 2a 2＝5
3
.
故e ＝
153
. 6．(2016·四川绵阳第二次诊断考试)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )
A ．x 2＋(y －1)2＝1
B ．x 2＋(y －3)2＝3
C ．x 2＋(y －32)2＝34
D ．x 2＋(y －2)2＝4
答案 A
解析 设圆心(0，b)，(b>0)，半径为b ，双曲线渐近线方程为y ＝±3x ，圆心到渐近线的距离为d ＝b 2.由勾股定理，得(b 2)2＋(3
2)2＝b 2，∴b ＝1.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.
7. (2016·天津河西质量调研)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
过F 1的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.233
B. 3 C ．4 D.7
答案 D
解析 设等边三角形的边长为x ，则根据双曲线定义得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋|BF 1|）－x ＝2a ，x －|BF 1|＝2a ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧|BF 1|＝2a ，x ＝4a. 在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理，得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4acos60°.∴c 2＝7a 2，即e ＝7.
8．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 2
4＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，
若直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，则k PA ·k PB ＝( ) A.4
9 B.12
C.23 D ．与P 点位置有关
答案 A
解析 设点A(x 1
，y 1
)，B(x 2
，y 2
)，P(x 0
，y 0
)，则由⎩⎨⎧y ＝1
2x ，
x 2
9－y
2
4＝1，
得y 2
＝36
7，于是y 1
＋y 2
＝0，
y 1y 2＝－367，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝4×(－36
7)．由k PA ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0－y 2x 0－x 2＝y 02＋y 1y 2x 02＋x 1x 2＝
y 02－
367
9（y 02
4＋1）－4×367＝y 02－
36
794（y 02－367
）
＝49，可知k PA ·k PB 为定值4
9，选A. 9．(2016·九江统考)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、
右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( ) A ．27 B ．10 C ．8 D ．6
答案 B
解析 设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由题意知a ＝4，b ＝3，c ＝5.∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝1
2·2c ·R ＝10，故选B.
10．(2016·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 2
16＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两
点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF|
|PQ|的值为( )
A.53
B.56
C.54
D.58 答案 B
解析 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，|MF||PQ|＝56
.
11．已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的
中点，则直线AB 的斜率为________． 答案 6
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入双曲线方程3x 2－y 2＝3，相减得直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝3×
x 1＋x 22y 1＋y 2
2
＝3×2
1＝6.
12．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →
，则直线l 的斜率为_______． 答案 x±y ＝0，±3
解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A(1，
0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，
消去x ，得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方
程(*)的根为P ，Q 两点的纵坐标，设P(x P ，y P )，Q(x Q ，y Q )∵PA →＝2AQ →
，∴y P ＝－2y Q .
又⎩⎨⎧y P
＋y Q
＝2m
1－m 2
，
y P y Q
＝1
m 2
－1，
解得m ＝±13，直线l 的斜率为1
m ，即为3或－3.
13．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(ab ≠0，且a ≠b)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →
＝
0(O 为原点)，则1a －1
b 的值为________．
答案 2
解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2
b ＝1，得
(b －a)x 2＋2ax －(a ＋ab)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a
a －
b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b
.
OP →·OQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0.
即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0. 即b －a ＝2ab ，所以1a －1
b
＝2.。