狄拉克方程

狄拉克方程
1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。

利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。

从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。

电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。

狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。

1概念
自然单位制下的狄拉克方程
为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。

但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。

2应用
既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。

按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。

自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。

与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。

这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。

同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。

3空穴理论
针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。

最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。

因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。

按照这个理论，如果把一个电子从某一个负
能状态激发到一个正能状态上去，需要从外界输入至少两倍于电子静止能量的能量。

这表现为可以看到一个正能状态的电子和一个负能状
这个负能状态的空穴应该表现为一个带电荷为+e的粒子，这个粒子所具有的能量应当相当于或大于一个电子的静止能量。

这个粒子的运
电子的存在。

4正电子的发现
1932年美国物理学家安德森（Carl David Anderson）在宇宙线
明对于电子来说，正负电荷还是具有对称性的。

狄拉克的空穴理论给
狄拉克方程
理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论
与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。

这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子(positron)而证实。

狄拉克方程的形式如下：
，
其中是自旋-½粒子的质量，与分别是空间和时间的座标。

目录
狄拉克的最初推导
狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛伦兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-戈尔登方程那样存在缺乏物理意义的负值。

考虑薛定谔方程
薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛伦兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。

这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。

其中的系数和不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛伦兹协变的。

因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满足洛伦兹协变性。

如果系数是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量
狄拉克把这些列矢量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值
同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的克莱因-戈尔登方程。

比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:
满足上面条件的系数矩阵和本征值只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。

这样，矩阵的阶数N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。

满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个泡利矩阵。

在不同基中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为
这里即为泡利矩阵
因此系数矩阵和可进一步写为
按照量子场论的习惯，，狄拉克方程可写为
狄拉克方程的洛伦兹协变形式
定义四个反对易矩阵γμ,μ=0,1,2,3。

其反对易关系为
，其中ημν是光滑时空的度规。

利用上式可证明
这里也采取了量子场论的习惯，。

此时狄拉克方程形式为。