牛顿—莱布尼兹公式

解： 把此极限式化为某个积分和的极限式，并 转化为计算定积分。为此作如下变形：
1 不难看出，其中的和式是函数 f ( x ) 在区间 1 x 上的一个积分和（这里所取的是等分分割）， [0 ,1]
1 1 J lim i n 1 i 1 n n
n
1 i i 1 i x i , i [ , ], i 1,2, , n n n n n


b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b a
f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a )
。
b
证： 由定积分定义，任给 0 ，要证存在 0,
当 || T || 时，有|
f ( )x [F (b) F (a)]|
1 dx J ln(1 x ) |0 ln 2 所以： 0 1 x 1
1 注：也可以把J看作 f ( x ) 在 [1 , 2] 上的定积分， x
同样有： J

2 1
3 dx dx ln 2 2 x 1 x
例 3 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
i 1
n

x ba
i 1

n
i

所以 f 在[a, b] 上可积，且有公式成立
F ( x ) 可由积分 注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时， 法求得。 注2： 定理条件尚可削减，例如： 1）对F 的要求可削减为：在 [a, b]上连续，在 [a, b] 内可导，且 F ( x ) f ( x ), x [a , b] 2）对 f 的要求可削减为：在 [a, b] 上可积。这 时（2）式仍成立，且由 f 在 [a, b]上可积，
3)

2 0
x 4 x dx
2
2
1 8 2 3 2 (4 x ) |0 3 3

1 1 2 3 2 2 (4 x ) C x 4 x dx x 4 x d (4 x ) 3 2
例2 利用定积分求极限：
1 1 1 lim( ) J n n 1 n 2 2n
解 面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o

x
2 牛顿-莱布尼兹公式
用定义来计算定积分一般是很困难的， 下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来。
定理9.1 若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，
且存在原函数 F ( x )，则 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且
于是，当 xi || T || 时，任取i [ xi 1 , xi ],
便有 | i i | ，这就证得
| f ( i )xi [F (b) F (a )]|
i 1
n
| [ f ( i ) f (i )]xi |
i 1
n
| f ( i ) f (i ) | xi
（2）式右边当 || T || 0 时的极限就是 a f ( x )dx, 而左边恒为一常数。
b
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例1
利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：
1)

b a
x dx（n为正整数）
n1
n
x 1 b |a (b n1 a n1 ) n1 n1 1 b 1 1 b dx 2) 2 (0 a b) |a a b a x x
F (i )xi f (i )xi
i 1 i 1
n
n
(2)
因为 f 在 [a , b] 上连续，从而一致连续，所以对上述
0 ，存在 0,
当 x、x [a, b] 且| x x |
时，有： | f ( x) f ( x) | ba
i 1 i i
n
事实上，对于[a , b] 的任一分割 T a x0 , a1 ,, xn b 在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上对F ( x ) 使用拉格朗日中值 定理， 则分别存在 i ( xi 1 , xi ), i
n i 1


1, 2,, n,
使得： F (b) F (a ) [F ( xi ) F ( xi 1 )]