台州市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析

台州市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解. 【详解】 因为
，所以
.
故选：D 【点睛】
本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．函数()f x lnx ax =-在区间()1,5上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(,1]-∞
C ．1,5⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1
(]5
-∞，
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，由题意可得()0f x '≥恒成立，转化求解函数的最值即可． 【详解】
由函数()ln f x x ax =-，得1
()f x a x
'=
-， 故据题意可得问题等价于()1,5x ∈时，1
()0f x a x
'=-≥恒成立， 即1a x ≤恒成立，函数1
y x =单调递减，故而15
a ≤，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题. 3．定义在上的奇函数
满足
，且在
上单调递增，则下列结论中正确的是（）
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此
()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。

考点：函数的性质。

4．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得
，
，
，
其中，可以判定与平行的条件有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 【答案】B
【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确．
②存在平面γ，使得
都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与
不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作
，则与
必相交．又
．故选B ．
考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
5．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】 【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 6．若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
15
B ．1
5
-
C ．
1213
D ．1213
-
【答案】C 【解析】 【分析】 确定角
3π
α+所处的象限，并求出cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用诱导公式求出sin 6πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值． 【详解】
α是第四象限角，则
()32222
k k π
παπ+<<+， ()11722633k k k Z ππππαπ∴
+<+<+∈，且5sin 313πα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，
所以，
3π
α+是第四象限角，则12
cos 313πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 因此，12
sin sin cos 623
313ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】
本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．
7．若一圆柱的侧面积等于其表面积的2
3
，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A ．1：1 B ．2：1
C ．3：1
D ．4：1
【答案】B 【解析】 【分析】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ，根据已知条件列等式，化简可得答案. 【详解】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ， 则22
2(22)3
r l r l r πππ⋅=
⋅+， 化简得2l r =，即21
l r =， 故选：B 【点睛】
本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.
8．把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移6
π
个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ） A ．sin(2)3
y x π
=- B ．sin(2)6
y x π
=-
C ．sin()23x y π=-
D ．sin()26
x y π
=-
【答案】A 【解析】
试题分析：函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变得到sin 2x ，再把图象向右平移
6π
个单位，得到sin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角函数图像变换.
9．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）
A ．1∶2∶3
B ．1
C ．1
D ．1∶∶【答案】A 【解析】
【分析】
设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。

【详解】
设立方体为以2为边长的正方体，则=1R 甲 ，=2R 乙，=3R 丙 所以2:R
甲
2:R 乙2=123R 丙：：
【点睛】
设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。

10．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1. y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D
又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确. 故选A.
11．在等差数列{}n a 中，已知14a =，数列的前5项的和为50，则10a =（ ） A ．27 B ．29
C ．31
D ．33
【答案】C 【解析】 【分析】 由()
155355502
a a S a +=
==，可求出3a ，结合14a =，可求出d 及10a . 【详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，因为()
155355502
a a S a +=
==，所以310a =，则31104
33131
a a d --=
==--，故1049331a =+⨯=. 故选C. 【点睛】
本题考查了等差数列的前n 项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题. 12．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作
分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．30种 D ．36种
【答案】B 【解析】
分析：先不考虑限制条件，则共有23
43C A 种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.
详解：先不考虑限制条件，则共有23
4336C A =种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326C A =种方法；
甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A =种方法，
则分配方法共有366624--=种.
点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题 二、填空题：本题共4小题
13．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台． 【答案】30； 【解析】 【分析】
根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等. 【详解】
抽到乙种型号的吊车台，则
，解得：
.
【点睛】
本题考查简单随机抽样中的分层抽样.
14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.
①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ；
②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于
3； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .
【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】 ①如图
当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥
平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1
BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又
1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；
②如图
取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以
111
2OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M
NO ，且11A D
B C ，111A M
A D A =，1NO
B
C C =，所以平面1A DM 平面11B C
D ，且DM ⊂
平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图
作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：1
12633
A M ⨯=
=，根据对称性可知：16
3A M DM ==，又2AD =，所以1A DM 是等腰三角形，则12
2
1
623
22
326A DM
S
⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故错误； ④如图
设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以111112222
A D M a S S a ∆==⨯⨯=，12
2121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当1
2S S 时，解得：1
3
a =
，故正确. 故填：①②④. 【点睛】
本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题.
15．若复数满足，则z 的模等于______．
【答案】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由此能求出．
【详解】 复数满足
，
．
．故答案为1．
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 16．如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.
【答案】4 【解析】
分析：按照循环体执行，直到跳出循环 详解：第一次循环后：S=7，n=6； 第二次循环后：S=13，n=5； 第三次循环后：S=18，n=4；
1818<不成立，结束循环
所以输出值为4
点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若
522az bz
i z
+=--，求实数a ，b 的值.
【答案】（110（2）-3，2
分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将
522az bz
i z
+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可
得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩
，从而可得结果.
详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-.
∴2312z z ω=+-()()2
232123i i i =++--=-+，
∴ω=
=
（2）∵2z i =+，
∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()2
22i a b a b i a b a b i
i
i
⎡⎤++-++-⎣⎦
=
=
--
()252b a a b i i =-++=-. ∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩
，
解得3
2
a b =-⎧⎨
=⎩，
∴a ，b 的值为：-3，2.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分 18．已知函数l 2(1)
().1nx f f x x x
'=
-+． (Ⅰ)求函数()(1,(1))f x f 在点处的切线方程； (Ⅱ)0,1x x >≠当且时，2l ()(2),1
nx
f x a a a x >
+---求的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)230x y +-=;(Ⅱ)12a -≤≤. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)对函数求导，再令x=1,可求得1(1)2'=-
f ，回代可知()ln 1
1x f x x x
=++ ，由导数可求得切线方程。

(Ⅱ)
由()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭, 令()212ln x g x x x
-=+由导数可知()2101g x x ⋅>-，在0,1x x >≠且时恒成立。

下证()()2ln 2ln 1011x x h x f x x x x
=-
=+>--，所以220a a --≤。

【详解】
(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞ 因为()()
()221ln 211x x f x f x x x +-=+'+'， 所以()()11212f f '=+'，即()112
f '=-， 所以()ln 11x f x x x =++，()()
221ln 11x x x f x x x +-+'-=， 令1x =，得()11f =， 所以函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为 ()1112
y x -=--,即230x y +-=. (Ⅱ) 因为()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭
, 令()212ln x g x x x -=+，则()()2
222121x x x g x x x --+-==-'， 因为1x ≠，所以()0g x '<，所以()g x 在()0,1，()1,+∞上为减函数,
又因为()10g =，所以，
当1x >时，()()10g x g <=，此时，
()2101g x x
⋅>-； 当01x <<时，()()10g x g >=，此时，()2101g x x
⋅>-， 假设()()2ln 2ln 111x x h x f x x x x
=-=+--有最小值b (0)b >，则()0h x b -≥， 即22ln 101x b x x +-≥-. 若1b >，当1,1x b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x b -<； 若01b <≤，当1,x b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x b -<，所以，不存在正数b ，使()h x b ≥. 所以，当0x >，且1x ≠时，()ln 01
x f x x -
>-，所以，220a a --≤， 解得：12a -≤≤ .
【点睛】
本题综合考查求函数表达式与求曲线在某点处的切线方程，及用分离参数法求参数范围。

注意本题分离出的函数最小值取不到所以最后220a a --≤要取等号。

19．如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若3AB BO ==.
（1）求失败点组成的区域；
（2）电子狗选择x 正半轴上的某一点P ，若电子狗在线段AP 上获胜，问点P 应在何处？
【答案】（1）以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点；（2）P 应在x 轴正半轴上.
【解析】
【分析】
（1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速度为2V ，由题意得2MB MA V V
≤ ，代入坐标计算求解即可。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有
2PB PA V V ≥ ，代入坐标计算求解即可。

【详解】
（1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速度为2V ，由题意得2MB MA V V
≤ ，即22(2)4x y +-≤，即失败点为M 的轨迹为以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

故失败点组成的区域为：以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有2PB PA V V
≥， 22
22632
x x ++≥，即20x ≥， 所以P 应在x 轴正半轴上点。

【点睛】
本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系。

20．已知关于x 的方程x 2+kx +k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．
【答案】1
【解析】
分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.
详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83
k >
， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，
212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．
所以1k =-
点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.
21．已知函数ln ()()x a f x a R x
+=∈在x e =处取得极值. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若关于x 的不等式2ln (3)x b x >-至少有三个不同的整数解，求实数b 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为(0,)e . （2）(,3ln2)-∞+
【解析】
【分析】
（1）根据函数极值点定义可知()0f e '=，由此构造方程求得a ，得到()f x '；令()0f x '>即可求得函数的单调递增区间；
（2）将原问题转化为
()3ln 2b x f x x
-<=至少有三个不同的整数解；通过()f x 的单调性可确定函数的图象，结合()1f ，()2f 和()3f 的值可确定32b -所满足的范围，进而得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】
（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()2
1ln x a f x x --'=， ()f x 在x e =处取得极值，()2
1ln 0e a f e e --'∴=
=，解得：0a =， ()ln x f x x ∴=，()21ln x f x x -'=. 由()0f x '>得：0x e <<，()f x ∴的单调递增区间为()0,e .
（2）0x ，()2ln 3x b x ∴>-等价于()3ln 2b x f x x
-<=. 由（1）知：()0,x e ∈时，()0f x '>；(),x e ∈+∞时，()0f x '<，
()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 又0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →，可得()f x 图象如下图所示：
()10f =，()ln 222f =
，()()()ln 3ln 4ln 23210342f f f =>==>=， ∴若()3ln 2b x f x x -<=至少有三个不同的整数解，则3ln 222
b -<，解得：3ln2b <+. 即b 的取值范围为：(),3ln 2-∞+.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点求解参数值、利用导数求解函数的单调区间、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；关键是能够将不等式转化为变量与函数之间的大小关系问题，进而利用导数研究函数的单调性和图象，从而根据整数解的个数确定不等关系.
22．据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.
（1）求m 的值；
（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？
（3）在上述抽取的40个企业中任取2个,设Y 为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求Y 的分布列及期望.
【答案】（1）0.04；（2）
183190；（3）35
. 【解析】
分析：（1）根据频率分布直方图各矩形的面积和为1可计算出m .
（2）根据频率分布直方图计算出产值小于500万元的企业共14个，因此所求的概率为314340
1C C -； （3）Y 可取2,0,2-，运用超几何分布可以计算Y 取各值的概率，从而得到其分布列和期望. 详解：（1）根据频率分布直方图可知，()
150.030.070.050.010.045m -+++==．
产值小于500万元的企业个数为：()00300454014+⨯⨯=．
．， 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为3143401831190
C P C =-=． （3）Y 的所有可能取值为2-，0，2．
()2262405212
C P Y C =-==， ()1126142407015
C C P Y C ===， ()2142407260
C P Y C ===． ∴Y 的分布列为：
期望为：()2021215605
E Y =-⨯+⨯+⨯=-． 点睛：（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是频率组距
； （2）在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．。