2012届高考数学第一轮章节复习考试题13

第2章 第9节
一、选择题
1．(2010·天津文)函数f(x)＝ex ＋x －2的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
[答案] C
[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex ＋1>0，∴函数f(x)＝ex ＋x －2在R 上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
解法二：∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)．故选C.
2．若方程2ax2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )
A ．a<－1
B ．a>1
C ．－1<a<1
D ．0≤a<1
[答案] B
[解析] f(x)＝2ax2－x －1
∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2
∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，
2x2－x －1＝0的两根为x1＝1，x2＝－12
不适合题意．故选B. 3．(2011·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x ＋2)g(x)＋3x －4，其中g(x)是定义域为R 的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．
4．关于方程3x ＋x2＋2x －1＝0，下列说法正确的是( )
A ．方程有两不相等的负实根
B ．方程有两个不相等的正实根
C ．方程有一正实根，一零根
D ．方程有一负实根，一零根
[答案] D
[解析] 令y1＝3x
y2＝－x2－2x ＋1＝2－(x ＋1)2
则方程的根即为两函数图像交点横坐标
由图像知方程有一负根，一零根．
5．已知f(x)＝1－(x －a)(x －b)(a<b)，m ，n 是f(x)的零点，且m<n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( )
A ．m<a<b<n
B ．a<m<n<b
C ．a<m<b<n
D ．m<a<n<b
[答案] A
[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，
f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A.
6．若函数f(x)＝x3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．[－2,2]
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x ＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．
7．(2010·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A ．[－4，－2]
B ．[－2,0]
C ．[0,2]
D ．[2,4]
[答案] A
[解析] 本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12
<4，有交点，故选A.
8．(2011·山东济南)若方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＝x 13的解为x0，则x0属于以下区间( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 D ．(1,2)
[答案] B [解析] 构造函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －x 13，易知该函数是R 上的减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313
>0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213
<0. ∴x0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 二、填空题
9．已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．
[答案] 4
[解析] 每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的12，设n 次后达到精确度，则只需12n
<0.1，即n≥4.
10．若函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
[答案] ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－32<x<1 [解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.
因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2·3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，
故f(x)＝x2－x －6.
所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x －6)>0，
解得－32
<x<1. 11．若函数f(x)＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上无实根，则函数g(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －15(x3－3x ＋4)的单调递减区间是________．
[答案] (－∞，－1)，(1，＋∞)
[解析] f(x)在[－1,1]上的图像是线段，若方程f(x)＝0在[－1,1]上无实根， 则f(－1)f(1)>0，即(－5a ＋1)(a ＋1)>0，
解得－1<a<15，a －15
<0. 由g′(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －15(3x2－3)<0，得x<－1或x>1. 三、解答题
12．关于x 的二次方程x2＋(m －1)x ＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m 的取值范围．
[解析] 设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)≤0，
又∵f(2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m≤－32
. ②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2
f 2≥0
，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －12－4≥0－3≤m≤14＋m －1×2＋1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m≥3或m≤－1－3≤m≤1m≥－32，∴－32
≤m≤－1， 由①②可知m≤－1.
13．对于函数f(x)，若存在x0∈R ，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)．
(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝x2－x －3，因为x0为不动点，
因此有f(x0)＝x02－x0－3＝x0，所以x0＝－1或x0＝3.
所以3和－1为f(x)的不动点．
(2)因为f(x)恒有两个不动点，
f(x)＝ax2＋(b ＋1)x ＋(b －1)＝x ，
ax2＋bx ＋(b －1)＝0，
由题设知b2－4a(b －1)>0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b2－4ab ＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0.所以0<a<1.
14．(2011·广州模拟)已知函数f(x)＝4x ＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．
[解析] ∵f(x)＝4x ＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x ＝t(t>0)，则t2＋mt ＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，
∴2x ＝1，x ＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m ＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x ＝0.
15．定义域为R 的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx －ax(a ∈R)，方程f(x)＝0在R 上恰有5个不同的实数解．
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)求实数a 的取值范围．
[解析] (1)设x<0，则－x>0，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝0的根关于x ＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，
∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x 轴恰有两个不同的交点．
下面就x>0时的情况讨论． ∵f′(x)＝1x －a ， ∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx －ax 在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．
a>0时，令f′(x)＝0，x ＝1a
. 当0<x<1a
时，f′(x)>0，f(x)递增， 当x>1a
时，f′(x)<0，f(x)递减， ∴f(x)在x ＝1a
处取得极大值－lna －1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．
∴只要：－lna －1>0，即lna<－1，
得：a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e .。