完整版本复变函数学习知识点梳理解读

第一章 :复数与复变函数
这一章主假如解说复数和复变函数的有关观点 ,大多数内容与实变函数近似 ,不难理解。

一、复数及其表示法
介绍复数和几种新的表示方法 ,其实就是把表示形式变来变去 ,方便和其余的数学知识联系起来。

二、复数的运算
高中知识 ,加减乘除 ,乘方开方等。

主假如用新的表示方法来解说了运算的几
何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形
就是把实数替代成复数 ,因为复数的性质 ,因此平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面
将复平面上的点 ,一一映照到球面上 ,意义是扩大了复数域和复平面 ,就是多了一个
无量远点 ,此刻还不知道有什么意义 ,猜想应当是方便将微积分的思想用到复变函数
上。

五、复变函数
不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标 ,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标 ,因此看起来仿佛是映照在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性
与实变函数的极限、连续性同样。

第二章 :分析函数
这一章主要介绍分析函数这个观点 ,将实变函数中导数、初等函数等观点移植
到复变函数系统中。

一、分析函数的观点
介绍复变函数的导数 ,近似于实变二元函数的导数,求导法例与实变函数同样。

所谓的分析函数 ,就是函数到处可导换了个说法 ,并且只合用于复变函数。

而复变函数能够分析的条件就是 : μ对 x 与ν对 y 的偏微分相等且μ对 y 和ν对 x 的偏微分互为相反数 ,这就是柯西黎曼方程。

二、分析函数和调解函数的关系出现了新的观点:调解函数。

就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的
实变函数。

而分析函数的实部函数和虚部函数都是调解函数。

而知足柯西黎曼方程
的两个调解函数能够构成一个分析函数 ,而这两个调解函数互为共轭调解函数。

三、初等函数
和实变函数中的初等函数形式同样,可是变量成为复数 ,因此有一些不同的性质。

第三章 :复变函数的积分
这一章 ,主假如将实变函数的积分问题,在复变函数这个系统里进行了系统的转化 ,让复变函数有独立的积分系统。

可是好多知识都和实变函数的知识是近似
的。

能够理解为实变函数积分问题的一个兄弟。

一、复积分的观点
复积分就是复变函数的积分 ,实质是两个实二型线积分。

因此应当拥有相应的
实二型线积分的性质。

复积分存在的充足条件是实部函数和虚部函数都连续。

二、柯西积分定理
意思就是假如复变函数在地区内到处分析 ,则沿随意关闭曲线的积分为 0.我感觉
近似于格林公式 ,又有点像大物里的无旋场。

这里有两个重要的推论 ,闭合变形原理和复合闭路定理。

三、柯西积分公式
用柯西积分定理的推论推导出来的一个公式 ,揭露认识析函数能够由复积分表示。

为求解复积分供给了一种门路。

四、分析函数的高阶导数
讲了复变函数和实变函数完好不同的一点 ,分析函数的高阶导数是必定存在
的。

还解说了几个定理公式 :柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理。

实数范围内的级数问题的拓展,研究对象从实数换成了复数。

一、复数项级数
复数项级数 ,在我看来 ,就是两个实数项级数凑成一组 ,可是求解问题时仍是要分开解决。

这部分的问题和实数项级数没有什么差异 ,就是一个变为了两个。

二、幂级数
这部分内容基本是一五一十的把实数范围的幂级数观点抄了一遍 ,多了阿贝尔定理和收敛圆、收敛半径等新观点 ,需要时间汲取。

三、泰勒级数
将实数的泰勒级数观点 ,转变为了复数的泰勒级数观点 ,将分析函数睁开为幂级数的方法近似 ,同时因为复数的一些性质 ,让本来在实数范围内泰勒级数的一些东西变得
简单理解。

四、洛朗级数
因为泰勒级数的定义 ,使得分析函数没法在指定点的去心邻域内睁开 ,因此发展出
了洛朗级数。

而洛朗级数的实质仍是泰勒级数。

这一章能够看作是微积分中讲定积分那章,可是因为复变函数和实变函数的区
别 ,因此求定积分的方法也不同。

而孤立奇点、留数、复变函数的定积分这三节
的内容是层层推动的 ,每一节都是下一节的基础。

一、孤立奇点
简言之 ,函数在孤立奇点某个去心邻域可分析 ,但在该点不行分析。

而经过孤立
奇点这个观点 ,又发展了可去奇点、极点、天性奇点、零点等观点。

二、留数
留数就是分析函数睁开成幂级数后再逐项积分最后留下来的那个常数。

而求留
数则要用一条关闭曲线将全部孤立奇点包起来 ,再用公式求留数。

因此留数实际上是
一种积分。

而确立孤立奇点的种类会更为方便地求出留数。

三、留数在定积分计算上的应用
因为从前所讲的复变函数的积分都是闭合回路的积分,因此求定积分先要凑出闭合回路。

即仍是要用到前面的积分知识,而后在经过变形整理凑成留数公式的形式,
求取定积分。

第六章：保形映照这一章就是讲复变函数自变量所在的平面和因变量所在的
平面，经过函数映照产生的数目、地点关系，我感觉主假如地点关系。

好多内容
都是新的。

可是各小节之间是相互联系的。

一、保形映照的观点这一节介绍了复
变函数的导数的几何性质，和保形映照的观点、分类、性质。

这一节和从前的知
识有很大的差异，主假如在于复变函数的因变量是复数，能够看做实变函数中的一对数，因此性质和学过的单值函数有好多不同样的地方。

二、分式线性映照az
b 分式线性映照就是知足这类形式的映照，本节介绍了这类映照的构成、cz
d 各样性质，和保形映照有好多相像之处。

三、独一决定分式线性映照的条件因
为知足 az b 这类形式的映照包括四个常数，而只需分子分母同时cz d 除以
此中一个常数就只剩下三个，因此独一确立一个分式线性映照只需要三个常数。

而这一节主要议论经过怎样改变三个参数能将映照的地区改变为想要的。

四、几个初等函数所构成的映照这一节就是讲由初等函数所构成的映照的各样性质和相应的应用。