2006年全国各地高考数学解答题分析研究

2006年全国各地高考数学解答题分析研究
函数或者解三角形,概率,立体几何,函数和导数,解析几何,数列.不等式常综合在导数,数列中考查,向量常综合在解析几何,立体几何中考查.
1.2三角函数或者解三角形内容解答题,有16份试卷位于解答题第一题;解答题第二题有10份试卷考查概率,5份考查函数和导数;解答题第三个题有15份试卷考查立体几何;解答题第四个题变化较大,有4份试卷考解析几何内容,5份试卷考查函数和导数内容,4份考查概率统计;解答题最后两个题有14份考查数列内容,有12份试卷考查解析几何;
1.3三角函数一般是解答题第一题,概率和立体几何解答题都在前四个解答题中,解析几何,数列解答题
在后两个位置,函数和导数内容的解答题较为灵活,多位于解答题后三题中,有13份题.
1.4每个解答题大多是两小问,也有3小问和只有1问的题,没有超出3小问的解答题. 2对解答题整体难易与作答策略分析:
2.1解答题前两题作答策略.解答题前两题一般是三角函数或者解三角形及概率题,这两个题一般都是中档题,尤其是三角题较为简单些,所以这两个题要力争满分,解题过程多是直接展开条件,运算要熟练、准确,一次成功.尤其要注意表达规范,因为是两个最简单的解答题了,大部分同学都会做,评卷时常是看能否扣掉几分,又概率解答题,要先记事件,适当用文字说明,这往往也是同学们的薄弱之处.
2.2解答题第三题作答策略.这个位置一般是立体几何的解答题,要争取8至12分.一般由两小问或者三小问构成,第一问常常是送分题,以论证垂直、平行关系为主,第二、三问多是计算角或者距离等问题.一般都是一题两法,即可以用传统方法去做也可以用向量方法去做.这两种方法在难度上大多一致.向量方法更易于入手解题,推理少,作的辅助线也少,以算代证,能把位置特征迅速转化为数量关系,但是运算量要大一些,而且一旦有一个点的坐标错,结果就错了,所以运算能力要求要高一些,从这个角度看,传统方法还是有优势的,运算相对少一些,但是要作辅助线,推理,这些相应就难一些.所以要根据实际情况和自己特长来选择方法.
2.3后三个解答题作答策略.后三个解答题一般是函数和导数,解析几何,数列等内容的解答题,由于每个解答题一般有两小问,往往第一小问较易入手,一般有3-6分的送分,体现人性化设计,稳定考生情绪.所以要争取第一问不丢分,即把每个题的第一问做出来,然后集中突破第二问.
3策略思想方法的选用.
3.1用分析法和综合法结合起来思考问题.先从条件出发,使用综合法,把条件展开;再从结论出发,找使结论成立的条件,即用分析法.即同时展开条件和结论,其结果在中间相遇,则题目可获解..其思考的一般模式是:从已知到可知,从未知到需知,已知与未知的沟通,问题便获解决.
3.2数学思想方法的运用.函数与方程式的思想,数学形结合的思想,分类讨论思想,化归与转化思想等数学思想的运用.一般地,函数导数题和解析几何题要注意数形结合思想,函数方程思想,分类讨论思想的运用,数列题要注意化归思想的运用,化归为等差数列,等比数列问题.
3.3正难则反.在解综合题时,既要注意到问题的正面,同时还要考虑问题的反面.先从正面入手求解,当正面思考面临困境时,则从反面来思考问题.
3.4观察,比较,合情推理,大胆猜想,小心求证.
3.5使用跳步解答和缺步解答等作答技巧,力争分步得分. 4高考解答题举例:
例1(06安徽)如图,F 为双曲线C:
()222
2
10,0x
y
a b a b
-
=>>的右焦点.P 为双曲线C
右支上一点,且位于x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点.已知四边形O F P M
为平行四边形,PF OF λ=.
(Ⅰ)写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式;
(Ⅱ)当1λ=时,经过焦点F 且品行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点,若12AB =,
求此时的双曲线方程.
分析:第一问涉及双曲线准线,焦点,显然要数形结合,利用双曲线的定义解题;第
二问仍是从分析图形开始,抓菱形性质做题,最后归结为设而不求,韦达定理整体代入弦长公式的经典模式运算.
解:(Ⅰ)∵四边形O F P M 是平行四边形,∴||||OF PM c ==,作双曲线的右准线交PM 于H,则2
||||2
a
PM PH c
=+,又2
2
2
2
2
2
2
||||||
22
2
2
PF OF c c
e
e a
a
PH c a
e c c c
c
λλλλ=
=
=
=
=
----,2
20e e λ--=.
(Ⅱ)当1λ=时,2e =,2c a =,2
2
3b a =,双曲线为
2
2
2213x
y
a a
-=, 四边形O F P M 是菱形,设P(x 0,y 0),|OF|=|PF|=|PM|=|MO|=c,所以
2
03||||2
a
a x PM M H c c
=-=-
=
,02
y a =
=
所以直线OP 的斜率为3
k =
,则直线AB 的方程为2)3
y x a =
-,代入到双曲线方程
得:22420290x ax a +-=,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
又12AB =,由AB =得:||1212AB a =
==,
解得a=1,所以2
2
13
y
x -
=为所求. 点评:注意本题数形结合思想的运用.解析几何题一般是以图形分析开始,以数式运算结束.解析几何题一开始要抓定义,要注意模式化运算,如本题联立直线和圆锥曲线方程,得到一个一元二次方程, 设而不求,用判别式法及韦达定理整体运算等.
例2(06湖南)已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==
证明:(I)101n n a a +<<<;(II)3
116
n n a a +<
.
分析:先从第(I)问1n n a a +<分析,其实是证数列的单调性,要证1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<,所以只需要证01n a <<即可,要证这个结果,考虑1101,()n n a a f a +<<=,考虑用数学归纳法来证.第(II)问要证
3
116
n n a a +<
,就是证:
3
3
111sin 06
6
n n n n n a a a a a +-=
-+>,考虑构造函数3
1()sin 6
g x x x x =-+
,01x <<,转
化为函数最值问题.
证明:(I)．先用数学归纳法证明01n a <<,ｎ＝1,2,3,…
(1).当n=1时,由已知显然结论成立.
(2).假设当n=k 时结论成立,即01k a <<.因为0<x<1时
'
()1cos 0f x x =->,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,
从而1(0)()(1),01sin 11k k f f a f a +<<<<-<即.故n=k+1时,结论成立. 由(1)、(2)可知,01n a <<对一切正整数都成立.
又因为01n a <<时,1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<, 所以1n n a a +<,综上所述101n n a a +<<<． (II)．设函数3
1()sin 6
g x x x x =-+,01x <<．由(I)知,当01x <<时,sin x x <,从而
2
2
2
'
2
2
()cos 12sin
2()0.2
22
22
x
x x
x
x
g x x =-+
=-+>-+=所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连
续,且g(0)=0,所以当01x <<时,g(x)>0成立.于是31()0,sin 06n n n n g a a a a >-+>即．故3
116
n n a a +<．
点评:本题第一问从结论出发,探明了先证01n a <<,选择数学归纳法,综合使用函数单调性;第二问把陌生的问题不等式问题,化归为熟悉的函数最值问题.
例3(湖南卷)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
解:(Ⅰ)．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的.
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31
.016
55
.0)5.01(3
2
2
51
==
⨯-⨯=C P .
(Ⅱ)．由题设,必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5,0.5).从而ξ的数学期望是E ξ＝50.5 2.5⨯=,即平均有2.50家煤矿必须整改.
(Ⅲ)．某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是
1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ,从而该煤矿不被关闭的概率是
0.9.由题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所
以至少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P .
点评:本题第(Ⅲ)问从反面着手分析,体现了正难则反的解题思想.
例4(06安徽)已知函数()f x 在R 上有定义,对任何实数0a >和任何实数x ,都有()()f ax af x =
(Ⅰ)证明()00f =;(Ⅱ)证明(0)()(0)
kx
x f x hx
x ≥⎧=⎨
<⎩,其中k 和h 均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的0k >时,设()()
()1(0)g x f x x f x =
+>,讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值.
分析:本题第一问送分,第二问则较难,但是看了第三问,是常见的函数求单调性和极值问题,较为简单,所以先跳过第二问,先做第三问,最后再突破第二问.
证明(Ⅰ)令0x =,则()()00f af =,∵0a >,∴()00f =. (Ⅱ)①0x >,则()()1(1)f x f x xf =⋅=令k=f(1),则f(x)=kx;
②0x <,()()()(1)(1)[(1)]f x f x xf f x =-⋅-=--=--,令h=(1)f --,则f(x)=hx; ③x=0时，f(0)=0. 所以(),0,0
kx x f x hx x ≥⎧=⎨
<⎩成立. (Ⅲ)当0x >时,()()
()11g x f
x kx f
x kx
=+=
+,22
2
2
11()k x g x k kx
kx
-'=-
+=
,
令()0g x '=,得11x x k
k
=
=-或(舍).
当1(0,)x k
∈时,()<0g x ',∴()g x 在1
(0,)k 是单调递减函数; 当1
(,)x k ∈+∞时,()>0g x ',∴()g x 在1(
,)k
+∞是单调递增函数;
所以当1x k
=
时,函数()g x 在()0,+∞内取得极小值,极小值为1()2g k
=.
点评:本题第二问较难,所以跳步解答,最后即使第二问不能做出,也能得到6分以上,所以做高考题要加强分步得分的意识,不是一个题全都会做才去做,而是会多少,做多少,没有思路时就把条件展开,然后把结论也展开,只管往试卷上写,说不定这样题反而做出来了,即使做不出来,也希望能分步得分.。